Статья из сайта petrovlam.ru
Автор: Петров В. М.
Введена 27.07.2007
Последнее обновление: Доработана: 29.10.2009

Часть 1   П-функции для двумерных контуров

 

      Аннотация.   Предлагаются формулы, описывающие двумерные контуры и трёхмерные оболочки. Могут использоваться в Системах Автоматизированного Проектирования (САПР) машиностроительных деталей.

 

 

Современные системы автоматизированного проектирования оперируют различными методами машинного моделирования. Наиболее перспективными из них для машиностроения становятся приёмы, в основе которых лежит принцип формирования модели из ограниченного набора устойчивых геометрических базовых форм (БФ), объединяемых по правилам теоретико-множественных операций. При этом задача определения принадлежности произвольной точки конкретной БФ (контуру или оболочке) решается подстановкой координат этой точки в нормализованное уравнение (соответственно, контура или оболочки) и анализом результата вычисления. При равенстве его нулю однозначно подтверждается принадлежность рассматриваемой точки данной БФ. Если результат отрицателен, точка – внутри БФ. Если положителен – за границами БФ.

Такой анализ удобен, когда БФ описывается единым уравнением (окружность, сфера и т. п.).

Геометрические объекты, не описываемые единым уравнением (прямоугольник, призма и т. п.), задаются системами уравнений и неравенств, число которых для контуров равно числу сторон (не обязательно линейных) и числу граничных значений для каждой стороны. Для оболочек число уравнений и неравенств существенно возрастает.

В данной части предлагаются достаточно простые в использовании функции для некоторого класса двумерных контуров и трёхмерных оболочек. Эти функции я скромно обозначил «П-функции» (функции Петрова), как частное применение R-функций Рвачёва.

Предварительная информация

Принятые обозначения:

P - П-функция

[А], [В] - сомножители (компоненты П-функции) произвольного значения

× - знак умножения (компонентов П-функции)

+ - знак операции «Сложение»

- знак операции «Вычитание»

& - знак операции «Пересечение»

< - знак «меньше»

> - знак «больше»

- знак «меньше или равно»

- знак «больше или равно»

- знак «тождественно равно» («равно всегда»)

- знак «из этого следует», «из чего следует», «отсюда» и т. д.

= - знак «равно»

¦ - знак«или»

¦х¦ - «модуль» числа х (возможна запись в виде IxI)

Θ - знак математической частицы «нульон»

(0 < А< 1), (0 ≤ В ≤; 1) - сомножители с обозначенным диапазоном значений

[Q] , [> 1 ] - сомножители с указанным значением

Определение частицы «нульон»

При моделировании трёхмерных оболочек и двумерных контуров, выполняющих функции отображения на плоскости границ трёхмерных объектов (например, в машиностроительных чертежах), приходится встречаться с сечениями, один или все размеры которого равны нулю. С точки зрения чистой математики такой точки существовать не должно. Но с точки зрения реального трёхмерного объекта такой точкой может быть, например, вершина конуса. У этой точки по определению отсутствуют размеры, но имеется масса (если конус твёрдотельный).

ПРИМЕЧАНИЕ

Полость в материальном теле тоже считается твёрдотельной. Но масса её считается «отрицательной». Масса за оболочкой твёрдотельной формы считается «нулевой». Наконец, масса реального предмета считается «положительной».

Я предлагаю ввести в расчётный аппарат моделирования новую математическую частицу «нульон».

ПРИМЕЧАНИЕ

Раньше я называл эту частицу «нулон» (было это очень много лет тому как). Но перед написанием данной статьи я заглянул в Интернет и обнаружил, что «мой» «нулон» уже используется в ядерной физике. Именно по этой причине я предлагаю взамен «нулона» использовать термин «нульон».

«Нульон» появляется, когда «нуль» делится на «нуль».

Свойства частицы «нульон» будут рассмотрены позже. А сейчас в таблице 1 приводятся три алгоритма для вычисления П-функций.

Таблица 1

Дополнением к таблице 1 следует принять тождественное равенство

А × В º В × А

П-функция применительно к БФ для общего случая имеет вид:

P = [f(x)] × [f(y)]

где

f(x) и f(y) – зависимость формы БФ от координат x и y.

В качестве первого примера описания БФ с использованием П-функций привожу простейшую (для этой цели) БФ «Прямоугольник» с Центром Внутренней Координатной Системы (ЦВКС) в левой нижней вершине.

Расчётная схема показана на рисунке 1-1.

Рис. 1-1 БФ «Прямоугольник»

П-функция для обозначенной БФ имеет вид:

Задавая различные значения координатам x иy, можно проследить за изменением П-функции «Прямоугольника» (таблица 2).

Таблица 2

В качестве следующей БФ (для примера) рассмотрим «Прямоугольный треугольник».

Расчётная схема показана на рисунке 1-2.

Рис. 1-2 БФ «Прямоугольный треугольник

Таблица 3

Из схемы на рис. 1-2 следует:

Следовательно, П-функция для этой БФ выглядит так:

Поскольку из таблицы 1 понятно, что точки с координатами «y> h», «y< 0», «x> s», и « x< 0» однозначно приводят к результату «П > 0», постольку в Таблице 3 я позволил себе такие значения не анализировать.

ПРИМЕЧАНИЕ

При анализе контура «Треугольник» мы уже встретились с необходимостью преодолеть запрет деления на нуль.

Следующая БФ – «Окружность» (см. рисунок 1-3).

Рис. 1-3 БФ «Окружность»

«Окружность» представляет собой осе - и центро-симметричный контур. Поэтому оптимальное положение ЦВКС – центр окружности. В дальнейшем ничто не мешает учитывать его смещение и угол поворота координатных осей.

Из рисунка 1-3 можно вывести:

Следовательно, П-функция будет выглядеть так:

В следующей части я покажу примеры теоретико-множественных операций над парой БФ – «Окружность» и «Трапеция симметричная». Здесь же анализ точек для этих БФ я сознательно пропускаю.

Следующая БФ, которая сейчас будет показана, это – «Трапеция симметричная», представленная на рисунке 1-4.

Рис. 1-4 БФ «Трапеция симметричная»

Вообще-то говоря, обсуждаемая БФ сама является результатом от теоретико-множественных операций над двумя примитивами (Базовыми Формами).

«Трапецию» можно изготовить: либо сложением «Прямоугольника» и «Прямоугольного треугольника» (см. рисунок 1-4), либо вычитанием «Прямоугольного треугольника» из «Прямоугольного треугольника» (см. рисунок 1-5). Либо при помощи других сочетаний и действий.

Рис.1-4 БФ для операции «Сложение»

Рис. 1-5 БФ в операции «вычитание»

Но можно рассмотреть вариант описания контура «Трапеция» в виде самостоятельной БФ, если, например, к описанию «Прямоугольного треугольника» добавить граничное условие на размер «h» и применить математическую операцию «модуль» (использовать «П-систему»). Только это уже - тема для будущего разговора.


Просмотров: 3980

Комментарии к статье:


Ваще сообщение:
 

 

Добавить комментарий

[B] [I] [u] [S] [2] [2]       [TAB] [∑] [∓] [≈] [≠] [≤] [≥] [π] [×] [√]       [RED] [GRE] [BLU]

[α] [β] [Γ] [γ] [Σ] [σ] [Δ] [δ] [Ω] [ω] [μ] [Λ] [λ]