Статья из сайта petrovlam.ru
Автор: Петров В. М.
Введена 10.10.2014
Последнее обновление: 11.10.2014

ПОЛНАЯ  ФОРМУЛА  ОСНОВНОГО  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА  И  ЕГО  СВЯЗЬ  С  ТЕОРЕМОЙ  ПИФАГОРА

 

Автор: Бабич И. П.

 

Контакт с автором:  innapavlovna@list.ru

 

 

       Считается, что основное тригонометрическое тождество вытекает из теоремы Пифагора [1]. В статье приведено самостоятельное доказательство основного тригонометрического тождества (без теоремы Пифагора). Также получена полная формула тождества и полная формула уравнения окружности, которые содержат неявные компоненты, как и полная формула теоремы Пифагора [2]. Показано, что теорема Пифагора и основное тригонометрическое тождество – это две совершенно самостоятельные задачи с разными исходными условиями. Поэтому они имеют различные по написанию полные формулы и различные сферы своего применения.

 

       Известно, что основное тригонометрическое тождество называют также формулой единичной окружности. Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен 1, а центр совпадает с началом координат. Формула единичной окружности или основного тригонометрического тождества записывается в виде [1]:

 

      (1)

 

       Такое соотношение легко получить из прямоугольного треугольника. Для этого достаточно из вершины прямого угла опустить высоту h на гипотенузу, как это показано на рис.1.

 

       Высота h разделяет исходный треугольник на два меньших, подобных исходному. У каждого меньшего треугольника есть угол φ при вершине, а их гипотенузами являются b и a – катеты исходного треугольника. Записываем соотношения, которые определяют величину синуса угла φ в каждом из полученных треугольников:

 

           (2)

 

           (3)

 

перемножив правые и левые части выражений (2) и (3) получаем:

 

         (4)

 

       Известно, что площадь прямоугольного треугольника определяется половиной произведения либо катетов, либо высоты на гипотенузу:

 

             (5)

 

что позволяет заменить в формуле (4) h на ab/c и получаем:

 

           (6)

 

       Точно так же определяем величины косинусов угла φ

 

          (7)

 

            (8)

откуда

 

          (9)

 

       Из диаграмм рис.1 видно, что

 

          (10)

 

       Подставляем в формулу (1) найденные величины из формул (6) и (9), и формулы (10), получаем:

 

         (11)

 

       Два последних слагаемых формулы (11) можно отбросить т.к. они взаимно уничтожаются, и тогда получаем привычную формулу (1) единичной окружности. Т.е. основное тригонометрическое тождество доказано

 

       Однако, решение о том, насколько последние два слагаемых тождества (11) компенсируют друг друга, следует принимать в каждом конкретном случае отдельно. Например, они могут быть либо мнимыми параметрами как в [3], либо параметрами виктори-поля, как в [4]. Но поскольку эти слагаемые несут некую информацию, их следует оставить и отметить знаком j неявности, как это сделано в полном уравнении теоремы Пифагора [2]. Уйти от неизвестной величины p легко, т.к. из меньшего треугольника или формулы (3) получаем, что

 

        (12)

 

       Тогда последние слагаемые из формулы (11) принимают вид:

 

        (13)

 

       И окончательный вид полной формулы основного тригонометрического тождества или уравнения единичной окружности получаем такой:

 

        (14)

 

       По написанию полученная полная формула отличается от полной формулы теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике [2]. При этом точно так же как и в полной формуле теоремы Пифагора, дополнительные пары слагаемых равны по величине, но имеют противоположные знаки. Они являются неявными компонентами полной формулы основного тригонометрического тождества.

 

       Известно, что уравнение окружности радиуса R можно получить из уравнения единичной окружности или из основного тождества тригонометрии. Для этого достаточно умножить обе части тождества на R2. Для получения полного уравнения окружности надо умножить на R2 обе части формулы (14) – полной формулы уравнения единичной окружности. Тогда полная формула окружности радиуса R принимает вид:

 

        (15)

 

       На рис.2 видно, что Rsinφ можно заменить на y, а Rcosφ – на x.

 

       Тогда полная формула окружности принимает вид:

 

        (16)

 

       Очевидно, что всё сказанное относительно полной формулы единичной окружности, касается и полной формулы окружности радиуса R.

 

       Как видно из формулы (16) уравнение полной формулы окружности радиуса R также отличается от полной формулы Пифагора. Чтобы выяснить причины отличий в полных формулах теоремы Пифагора и основного тригонометрического тождества (и уравнения окружности, полученного из тождества) следует сравнить исходные данные для доказательства в этих задачах.

 

       Итак, имеем:

 

ü       при доказательстве полной формулы теоремы Пифагора используется окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника [2]. При этом гипотенуза треугольника равна диаметру описанной окружности или двум радиусам (рис.3а). При доказательстве основного тождества тригонометрии речь также идёт об окружности, но при этом гипотенуза исследуемого прямоугольного треугольника является радиусом единичной окружности (рис.3б), т.е. равна одному радиусу. Это первое отличие.

 

 

ü       второе отличие заключается в том, что при доказательстве теоремы Пифагора угол φ при вершине треугольника является вписанным в окружность – рис.3а, а при доказательстве тождества – центральным – рис.3б.

 

       Таким образом, в исходных условиях двух задач имеем разные соотношения гипотенузы с радиусом и разные категории острых углов (вписанный-центральный). Перечисленные выше отличия весьма существенны и поэтому результаты решений в виде полных формул отличаются. Т.е. по сути, теорема Пифагора и основное тригонометрическое тождество – это две разные совершенно самостоятельные задачи с действиями над параметрами совершенно разного характера. В результате действительные и неявные компоненты решения в этих двух задачах имеют разную природу, величину и расположение.

 

       Можно дополнить этот вывод наглядными пояснениями. Пусть описанная вокруг прямоугольного треугольника окружность является единичной, т.е. её радиус равен 1 рис.3а. Тогда, длина гипотенузы этого треугольника равна двум единицам или двум единичным радиусам. Соответственно, квадрат длины гипотенузы равен 4-м квадратам длин единичных радиусов. Эти 4-е единичных радиуса можно увидеть на рис.3а. Т.е. сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность, равна 4-ём квадратам длин единичных радиусов. Т.е. в теореме Пифагора квадрат гипотенузы состоит из 4-ёх квадратов единичных радиусов или 4-ёх тригонометрических тождеств из формулы (14). А это означает, что теорема Пифагора оперирует не линейными величинами, как это происходит при доказательстве основного тригонометрического тождества, а функциями второго порядка.

 

       Это значит, что такие параметры как векторы пути, скорости или электрического тока (т.е. векторы первого порядка [5]) должны суммироваться и вычитаться с использованием полной формулы уравнения окружности – формула (16). В то же время такие параметры как векторы ускорения, напряжённости поля, мощности в электрической цепи (т.е. векторы второго порядка [5]) должны суммироваться и вычитаться с использованием полной формулы теоремы Пифагора из [2].

 

       С учётом всего сказанного выше можно сделать вывод, что:

 

1.       для случая, когда катеты исследуемого треугольника опираются на радиус окружности, полной формулой является формула (16), полученная из полной формулы основного тождества тригонометрии;

2.       для случая, когда катеты исследуемого треугольника опираются на диаметр описанной окружности, полной формулой является решение теоремы Пифагора [2].

 

       Таким образом, полная формула основного тригонометрического тождества доказана. Она включает в себя значения, как из области действительных величин, так и неявных, которые располагаются за пределами плоскости исходных параметров. Из полной формулы основного тождества тригонометрии получено полное уравнение окружности, также включающее в себя неявные компоненты. Проведено сравнение исходных условий для доказательства основного тождества тригонометрии и для доказательства теоремы Пифагора из [2]. Сравнительный анализ показал, что эти две задачи являются совершенно разными и оперируют параметрами разных рангов или порядков, поэтому их полные формулы отличаются между собой.

 

 

 

Список использованной литературы

 

 

1.      Тригонометрические_тождества

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%

D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%

D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0

2.       Бабич И.П. «Полная формула теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике»

http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/13977.html

3.       Бабич И.П. «Окружность – это комплексная кривая второго порядка»

http://sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/13164.html

4.       Бабич И.П. «Мощность в электрических цепях переменного синусоидального тока»

http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12541.html

5.       Бабич И.П., «Векторы высших порядков и их физическая интерпретация»

http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/10225.html 

 


Просмотров: 2622

Комментарии к статье:


Ваще сообщение:
 

 

Добавить комментарий

[B] [I] [u] [S] [2] [2]       [TAB] [∑] [∓] [≈] [≠] [≤] [≥] [π] [×] [√]       [RED] [GRE] [BLU]

[α] [β] [Γ] [γ] [Σ] [σ] [Δ] [δ] [Ω] [ω] [μ] [Λ] [λ]