Статья из сайта petrovlam.ru
Автор: Петров В. М.
Введена 03.011.2013
Последнее обновление: 03.01.2013

 

От Читателя Валерия Морозова

 

Кубик Рубика

 

      Аннотация.    Приводятся алгоритмы сборки кубика от Читателя Валерия Морозова.

Вводная часть.

      Вы впервые взяли в руки кубик Рубика, и перед Вами стоит задача его собрать. Что обычно в этом случае все пытаются сделать?  Правильно. Люди пытаются собирать одну сторону. Это самое очевидное, как кажется многим. Но собрать надо весь кубик, а не одну сторону. Хорошо, предположим, Вы очень быстро сообразили, как это сделать и у Вас это получилось, собрать одну сторону. Но, задача решена только на 30%, и перед Вами стоит следующая задача - собрать всё остальное.

      Теперь Ваша задача усложнилась ровно в 2 раза, но не тем, что второй слой собирать  в 2 раза сложнее, чем первый. Нет. Просто, если бы Вы собирали второй слой,  не смотря на то, что произойдет с первым, Вы легко бы это сделали.

      Но Ваша задача, не просто собрать второй слой, но и не разрушить при этом первый, а иначе зачем было бы его собирать. Не многим  этот  этап удаётся решить самостоятельно. И вот у вас получилось - собраны 2 слоя.

      Теперь Ваша задача становится в 3 раза сложнее. Надо собрать последний слой и при этом следить за тем, чтобы не разрушить 2 первых. На этом этапе останавливается очень много людей. И это не удивительно - он самый сложный.

      Первым, кто предложил такой метод сборки, был английский профессор, математик Дэвид  Сингмайстер.  Для  разработки этого метода и создания алгоритмов для него, он использовал программистов и ЭВМ. После этого, в 1980г, он опубликовал его и вот уже 32 года этот метод используется во всём мире для обучения сборке кубика, как "Метод  для начинающих". 

      Здесь не зря  упомянуты программисты и ЭВМ, потому что нотация или, проще говоря, как обозначать грани кубика и их повороты, тоже , впервые была предложена Дэвидом Сингмайстером. Singmaster David ."Notes on Rubiks "Magic Cube". 1979 and by Enslow and Penguin 1980.

     Почему понадобилась нотация?                                                                            

     Без неё невозможно написание программы, для расчёта любой позиции кубика на ЭВМ. После обработки этой позиции, машина выдаёт готовое решение в виде формулы. Таким образом, создаются алгоритмы  на разных этапах сборки. Но ведь кубик в руки берут обыкновенные люди и, не все из них - математики и программисты. Они хотят собрать кубик сами и желательно без сложных формул. Когда  начинают изучать послойный метод и видят эти формулы, у многих возникают большие трудности с их восприятием и пониманием. Если, для выведения алгоритмов по типу коммутаторов, Дэвид Сингмайстер использовал математическую теорию групп, а именно: XYX−1Y−1 (где X и Y есть конкретные шаги, или перемещения, а последовательности X−1 и Y−1 , соответственно их обратные перемещения), то неужели Вы думаете, что математик и профессор таким образом создавал метод для начинающих. Многие из тех, кто стоял у истоков создания разных методов, были учёными и М. Тэйстлетуайт и Д. Макдональд из Стэнфордского университета  и В. А. Залгаллер, доктор физико-математических наук из Ленинграда , они решали кубик так, как  решали бы его учёные, математики или инженеры- программисты . Метод Д. Сингмайстера , самый известный среди этих методов, но далеко не самый простой. Самым простым, должен быть метод, который не требует от человека знания, ни математической теории групп, ни комбинаторики, ни других сложных математических приёмов. Хотя, метод Д. Макдонольда, также известен очень многим, просто они об этом не догадываются. В популярнейшем видео на YouTube, снятом одним человеком, он скромно называет этот метод: "Мой метод". Однако в 1981г. его первым разработал Д. Макдональд. Вот цитата из журнала "Наука и жизнь" за 1982г.: "Конкретный или последовательный метод сборки куба более понятен и приемлем для любителей, Д. Макдональд из Стэнфордского университета применяет такой метод: сначала собирается верхний слой без одного углового кубика, место которого (седло, гнездо) вместе с двумя другими седлами вертикального углового ряда используется в качестве ((подъездного пути)). Два оставшихся слоя собираются посредством перевода кубиков с ((подъездного пути)) и обратно на него... "Но и в этом методе, также без использования алгоритмов по типу коммутаторов не обойтись, хотя интуитивно, он более понятен,  чем послойный.

     Исходя из выше изложенного, хочу предложить метод сборки, который принципиально отличается от послойного и других методов . Мне самому трудно оценить хорош он или нет. Как говорил Наполеон: "Последнее слово всегда остаётся за общественным мнением". Но могу сказать одно, в 1982г. этим методом кубик был собран за два вечера, после того как  впервые был взят в руки.  Задача этого метода -  не давать готовые формулы для заучивания, а показать принципы сборки, и Вы сами будете решать, что и как делать . В нём нет формул, нет нотаций, но любое действие очень понятно с позиции логики. Ведь кубик Рубика в первую очередь - это головоломка. Если Вы выучили формулы и собрали кубик, то это  удовольствие всего на один раз, гораздо интереснее понять принцип сборки и самому совершенствовать сборку кубика, находя наиболее оптимальное решение  на каждом этапе. Будьте уверены, что, если Вы поймёте основные идеи этого метода, то Вы сможете собирать любые кубики и 2х2х2, 4х4х4, 5х5х5 и интерес при сборке не будет пропадать. Предлагаемая схема сборки выглядит следующим образом: а). сперва собираем 8 угловых элементов. б). затем - 4 рёберных элемента в среднем слое собираются в крест на любой из  боковых граней и ставятся на свои места. в). после этого 8 остальных рёберных элементов собираются в правильные пары и также ставятся на свои места. г). на последнем этапе 6 центров устанавливаются каждый на свою грань. Это общая схема сборки, но каждый отдельный этап  имеет очень много вариантов, которые Вы сами по ходу сборки должны будете выбирать. Этот метод не может дать одно готовое решение, их слишком много, он только показывает направление, а как по нему двигаться, решаете Вы сами, в этом и состоит основной принцип этого метода . Теперь немного о самом кубике:  

1. Очень важно сразу понять, что у кубика всего 3 вида элементов, это - центральные одноцветные, их - 6, рёберные двухцветные, их - 12 и угловые трёхцветные,  их - 8.

2. Центральные элементы жёстко фиксированы на крестовине куба и поэтому никогда не меняют своего взаимного положения. По стандартной раскраске, придуманной самим Эрнё Рубиком, жёлтый центр всегда находится напротив белого,  зелёный - напротив синего, красный - напротив оранжевого. Это самый важный пункт для понимания кубика Рубика, почему, потому что в послойном методе сборку куба всегда начинают с центров. Утверждается, что центр определяет цвет грани, а если центра нет, например, как у VOID CUBE, кто тогда  определяет цвет грани? Правильно. Угловой кубик, потому что он трёхмерный и однозначно отражает положение любой грани в пространстве. Если Вы собрали 8 угловых элементов, то уже определили, где какая грань, и теперь совсем неважно, как расположены центры. Теперь ваша задача - собрать рёбра, но, если центры будут стоять на своих законных местах неподвижно, то решить эту задачу, не сочиняя алгоритмы, будет невозможно. Неподвижные центры, оставляют только одно - вращать 6 боковых граней и не трогать 3 центральных плоскости вращения. А ведь рёберные элементы расположены на этих плоскостях вращения. Кратчайшее расстояние между двумя точками - это прямая, но, если на пути рёберного элемента расположен неподвижный центр, то рёберные элементы вынуждены двигаться кругами по боковым граням, в обход неподвижных центров. Это в разы усложняет сборку. Центральные элементы в кубике, никогда не меняют своего положения, только друг относительно друга, но отсюда не следует вывод, что они должны быть неподвижны. Центры могут вращаться, они просто обязаны вращаться, потому, что они подвижны относительно двух других типов элементов и это - самое важное. Когда куб собран, только центральные элементы могут находиться в 4-х разных положениях. Если Вы соберёте кубик Рубика несколько раз, то обратите внимание на то, как после сборки куба расположен логотип RUBIKS относительно других граней, он всегда повёрнут в сторону одной из 4-х боковых граней: красной, оранжевой, синей или зелёной. Каждый из 6 центров имеет 4 варианта расположения на своей грани.

3. Кубик имеет 9 плоскостей вращения, причём эти плоскости - двух видов: 6 - боковых и 3 - центральных. Это очень важно отличать, потому что при вращении 3-х центральных плоскостей, угловые элементы остаются на месте, а вращаются только центры и рёберные элементы. Когда Вы вращаете боковую плоскость, то в движении участвуют все элементы. Если, оси куба обозначить через X, Y, Z,  то, тогда можно рассматривать движение плоскостей куба, по отношению к его осям. Вращение 6-ти боковых плоскостей - это будет вращение вокруг одной из осей X, Y  или Z . Вращение 3-х центральных - это будет вращение двух осей вокруг третьей, X и Y вокруг Z , X  и Z вокруг Y , Z и Y вокруг X.

      Теперь остаётся только более подробно описать каждый этап. 

Первый этап сборки кубика.

      Задача этого этапа - собрать 8 угловых элементов. Он также разделяется на две самостоятельные части.                                           

Часть первая.

      Сперва Вам необходимо выбрать для себя два противоположных цвета, которые будут являться опорными и,  на которые Вы в дальнейшем будете постоянно ориентироваться. Вы можете выбрать тот цвет, который больше нравится лично Вам т. е., либо красный - оранжевый, либо жёлтый - белый, либо синий - зелёный. В данном случае опорными будут синий и зелёный. И теперь, Вы, превращаетесь в дальтоника и для  Вас синий и зелёный становятся одинаковыми. Почему,  да потому, что на первом этапе Ваша задача просто собрать синие и зелёные, неважно в  каком сочетании, на двух противоположных гранях. Вы абсолютно не должны обращать внимания на 2 других цвета углового кубика ,  пока не решите эту задачу. Первым делом,  Вам надо собрать одну грань и поставить на неё синие и зелёные, т. е. любые 4 элемента. После этого Вы обращаете свое внимание на противоположную сторону кубика,  здесь может возникнуть всего лишь 7 вариантов:

   

      Для удобства восприятия схемы  и  правильного понимания, синим обозначается грань, которая всегда остаётся собранной, а зелёным цветом - грань, с которой Вы производите элементарные операции из трёх поворотов, позволяющие переходить от одной схемы к другой. На самом деле синие и зелёные на первом этапе находятся в перемешанном состоянии и представляют собой, как бы, один цвет.

      Стрелками указаны этапы возможных переходов.

      Рис.1 на схеме, это то, к чему Вы должны стремиться в результате проведения элементарных операций. Все остальные схемы - промежуточные. Было бы очень здорово и интересно самим попытаться найти эти элементарные переходы. Главное - помнить основной принцип, что после 3-х элементарных поворотов, схема должна измениться, но при этом грань, обозначенная синим цветом, должна оставаться собранной. Для наглядного примера, рассмотрим 5 основных схем перехода из одного состояния в другое. Теперь, для удобства восприятия, все 8 элементов обозначим промежуточным цветом, что-то среднее между синим и зелёным. Тогда схемы переходов будут выглядеть следующим образом:

   

                                                                                                                                                                        На схемах цифрами  90 или 180 обозначается угол на который надо повернуть соответствующую грань.

      Стрелка указывает направление поворота.

      Рис.1-1- это позиция, которая должна получиться в самом конце. На всех 5-ти  схемах.

      Рис. под номером 1- это начальная позиция, а Рис. под номером 4 - это позиция, которая получается в результате 3-х  поворотов.  После того,  как Вам удалось поставить синие и зелёные на противоположные грани часть первая закончена.

Часть вторая

      Для начала необходимо поставить  синие на одну грань, а зелёные - на противоположную, и произвести  ориентировку по боковым цветам. Здесь возможно 4 варианта:

   

      Первая схема, Рис.1, Вам повезло и все угловые кубики встали на своих местах, это возможно, ибо вероятность этого 20%, почему 20%, а не 25 %, есть ещё 5 схема. Это, когда на каждой из граней по два диагональных кубика переставлены, но эта схема - просто разновидность собранной схемы, потому что переход от неё к собранной,  отличается своими поворотами от представленных на данной схеме. На схеме 3 стрелки обозначают одну и туже операцию перестановки, а результат, полученный от этих перестановок, - различный. Вы видите это на рисунке. Вторая  схема, Рис.2, Вам не повезло и у Вас получилась схема, когда на каждой грани по 2 кубика одной стороны стоят правильно, а по 2 - нет. Третья схема, Рис.3 , Вам опять не повезло,  одна грань собрана , это - зелёная, а на синей - 2 кубика одной стороны стоят неправильно. Четвёртая схема, Рис. 4 и опять Вам не повезло.  Одна грань собрана, это - зелёная, а на синей 2 кубика стоят правильно, а 2 – нет. Только теперь они переставлены по диагонали. Когда Вы имеете такую ситуацию, то надо лишь знать, что, вращая боковую грань на 180 градусов, у Вас всегда переставляются только 4 угловых кубика. Но так как у Вас две грани - синяя и зелёная, то кубики переставляются парами, два - на зелёной и два - на синей. Т. е., если Вы смотрите на синюю грань и совершаете на ней перестановки, то зелёная грань повторяет движения синей. Поэтому, если Вы будете переставлять 2 кубика одной стороны на синей грани, то точно также будут переставляться кубики на зелёной грани:

  

      На 3-х представленных схемах, осуществляется перестановка угловых кубиков после того, как синие и зелёные кубики стоят на своей грани. Принцип этих перестановок очень прост. Когда Вы меняете местами кубики на синей или зелёной грани, Вы всегда делаете поворот только на 180 градусов, и после разворачиваете синюю или зелёную грань в том направлении, куда следует поставить нужный кубик, и обратным поворотом на 180 градусов ставите кубик на нужное место. При этом достаточно всегда смотреть только на одну грань, либо синюю, либо зелёную. Почему? Потому что всегда переставляются 4 угловых кубика и, если Вы переставляете 2 кубика на синей грани, то точно такие же кубики будут переставлены и на зелёной. Рис.1-1, это - собранное состояние кубика. Рис.1-9, это - первое промежуточное состояние, когда по 2 кубика одной стороны на каждой грани переставлены. Рис.2-11, это - второе промежуточное состояние, когда зелёная грань собрана, а на синей - 2 кубика одной стороны переставлены. Рис.3-11, это - третье промежуточное состояние, когда зелёная грань собрана, а на синей - 2 кубика переставлены по диагонали.  На этом этап сборки углов закончен.

Второй этап сборки кубика.

На данном этапе необходимо собрать 4 рёберных элемента, чтобы образовался средний слой, и конечный результат должен выглядеть, как на схеме:

      У Вас должны получиться 4 угловые колонны размером 3х1. На Рис.1 кубик  показан со стороны жёлтой и белой грани, а на Рис.2 кубик показан со стороны красной и оранжевой. Задача эта, с точки зрения логического анализа, очень интересна, и каждый раз её, практически, приходится решать по-новому.  Почему? Давайте рассуждать. Мы собираем рёберные элементы среднего слоя, которые расположены на 4-х боковых гранях. Эти элементы – двухцветные. Их – 4. И принцип нашей сборки заключается в том, чтобы сперва собрать крест из этих элементов на любой из 4-х боковых граней, где после сборки они будут расположены. Теперь давайте посчитаем количество вариантов, которое могут образовывать 4 рёберных элемента, из которых мы должны собрать этот крест. Элемента – 4. Значит, - 16 вариантов расстановки. Они двухцветные и могут находиться на 4-х гранях. Отсюда получаем: 16х2х4=128 . Мы можем собрать 128 вариантов креста. Получается, что перед сборкой надо проанализировать, как и, где расположен каждый элемент и затем принять решение на какой грани его собирать и какого вида должен быть крест: красно-оранжевый или желто-белый и как расположить отдельные элементы. Давайте посмотрим, как могут выглядеть 32 варианта на белой грани:

Вот такой простор для творческого подхода к сборке кубика Рубика. Это Вам - не послойный метод, у которого при сборке 2-го слоя используются всего 2 формулы. Формулу выучил и не надо думать. После сборки креста, остаётся только развернуть его на 4 боковые грани и на этом второй этап закончен. Не буду объяснять,  как это делается. Покажу на схеме. Процесс очень простой. Попробуйте сами. Это -  интересно:

      Выше представлена схема разворота одного из 32-х вариантов: бело-жёлтый крест, который был собран на белой грани, в результате чего все 4 рёберных элемента были установлены на свои места. Рис.1 - это начальная позиция. На белой грани собран бело-жёлтый крест. И на Рис.4 показана позиция, когда все 4 рёберных элемента стоят на своих местах. На этом второй этап сборки закончен.

Третий этап сборки кубика.

      На этом этапе Вы будете завершать сборку оставшихся 8 рёберных элементов. Здесь Ваши действия будут разбиты на три части.

Часть первая.

      Эта часть полностью идентична начальному этапу сборки 8 угловых элементов. Здесь та же самая задача. Необходимо собрать синие и зелёные на двух гранях и при этом, - также абсолютно неважно, какой элемент займет какое место. Главное -  чтобы они просто расположились на двух противоположных гранях. И опять, Вы превращаетесь в дальтоника, и для Вас синий и зелёный - это один цвет. Сперва, Вы должны собрать 4 элемента на одной грани и затем посмотреть, что у Вас получается на противоположной. Здесь возможны всего 4 варианта:

 

      На этой схеме синим также обозначаются элементы грани, которая после каждой элементарной операции, остаётся собранной. Зелёным обозначаются элементы противоположной грани, над которыми происходят эти операции. Как можно заметить, Рис.1-1 и Рис.2-1, Рис.1-2 и Рис.2-2, Рис.1-3 и Рис.2-3, Рис.1-4 и Рис.2-4  - абсолютно идентичны, и отличие лишь в одном: на Рис.1 - две пары элементов образуют крест, а на Рис.2 - эти же две пары элементов просто параллельны друг другу. И поэтому, при сборке 8 рёберных элементов, мы используем те же 3 элементарных поворота, что и при сборке 8 угловых элементов. Стрелками также обозначаются переходы от одного состояния к другому при помощи одной  элементарной операции из 3-х поворотов. Эти повороты такие же, как при сборке 8 угловых элементов, только здесь Вы вращаете 3 центральных слоя. Ваша задача получить вариант, как на  Рис.1-1, и тогда первая часть сборки будет завершена.

 

      Выше представлены 3 схемы основных переходов из промежуточного состояния в конечное. Рис.1-1 - это позиция, к которой надо стремиться в  результате этих переходов. Рис.1-4, Рис.2-4, Рис.3-4 - это промежуточные позиции, из которых осуществляется переход  к  конечной. Однако, на этом этапе возможно образование паритета, так как центры свободно перемещаются по всему кубику, то после сборки рёбер, они могут быть неправильно ориентированы относительно них, поэтому пришла пора обратить Ваше  внимание на центры:

      На Рис.1 и Рис.2 представлены две промежуточных схемы, на которых центры находятся в неправильном положении: синий и зелёный на своих гранях, а  жёлтый и белый центры поменялись местами с красным и оранжевым. Но, эта ситуация благоприятная, потому что после того, как Вы соберёте рёберные элементы друг напротив друга по схемам Рис.1-1...Рис.1-4 и Рис.2-1... Рис.2-4, то и центры встанут на своё место. На Рис.3 и Рис.4, ситуация совершенно противоположная, рёберные элементы ещё не установлены, а центры уже стоят на своих местах, поэтому здесь должна применяться схема, которая переставляет рёберные элементы и при этом оставляет центры на своих местах:

      На Рис.1- Рис.11, представлена схема сборки рёберных элементов, которая сохраняет центры на своих местах, за счёт того, что все повороты осуществляются только на 90 градусов. Причём повороты центральных слоёв, совершаются по принципу: вперёд-назад, что позволяет центрам оставаться на своих местах. Но эта схема работает только с промежуточной позицией  Рис.2-4, две другие  промежуточные схемы Рис.1-4 и Рис. 3-4 надо сперва привести к этой, а затем собирать рёбра.

Часть вторая

      Теперь необходимо собрать пары элементов по боковым цветам. Вот как должна  выглядеть эта схема:

  

      На Рис.1 схемы показаны готовые 4 пары рёберных элементов, которые уже можно устанавливать на свои места. На Рис.2 и Рис.3 стрелками показано какие два элемента необходимо переставить, чтобы получились правильные пары. Однако этот вариант рассматривает только один случай, когда синие и зелёные цвета совпадают. Но существуют ещё варианты, когда синие и зёленые перемешаны. И для того, чтобы понять, что  необходимо сделать, нет надобности рассматривать все схемы. Главное - понять принцип. Задача этого метода объяснить и показать, что и как надо делать. Ваша задача попытаться самим найти путь решения по указанному направлению. Как собирать пары  интуитивно очень понятно, если не получается, то можно воспользоваться подсказкой, посмотреть схему.

Часть третья .

      Здесь даже не нужны никакие схемы. Всё можно объяснить просто на словах. Например, у Вас есть собранная пара зелёных элементов и стоит эта пара на синей грани, тогда поворотом зелёной грани Вы подготавливаете место под зелёную пару и поворотом центрального слоя на 180 градусов ставите её на своё место . Другой случай, собранная зелёная пара стоит на зелёной грани, но стоит не на своём месте, первым делом её надо поворотом центрального слоя убрать с зелёной грани на синюю и затем поворотом зелёной грани подготовить место, где  должна стоять эта пара и обратным поворотом центрального слоя поставить её на место. Этот  принцип,  зелёную грань собираем с синей грани, а синюю - с зелёной, сохраняется для всех 4-х пар.  Ниже, для примера, приводится схема одного из вариантов сборки пар и установки их на свои места:

      На  Рис.1 представлена схема правильно собранных 4-х  рёберных пар. Далее на Рис.2 представлена схема, на которой неправильно стоят по 2 элемента на синей и зелёной гранях. И далее, на рисунках 2-9 показаны перестановки двух элементов на  синей грани и двух на  зелёной, в результате чего получается первый Рис.1, где все 4 пары (две синих и две зелёных) стоят правильно и на своих местах. На этом третий этап закончен и остался последний.

Этап четвертый

заключительный.

                                                                               

      На данном этапе на свои места устанавливаются 6 центров. Я уже писал ранее, что мой метод отличается именно тем, что до самого последнего момента центры гуляют по всему кубику и поэтому в конце они могут быть расположены на разных гранях. Хотя бывают ситуации, когда центры собираются сами собой. И есть ещё вариант – это, когда два центра собраны, а  4 стоят не на  своих местах. Но для понимания того, что надо делать, мы рассмотрим более общий случай, когда на место надо поставить все 6 центров. Принцип действия такой, выбираем цвет грани которую будем собирать. Для большей наглядности я выбрал так любимый всеми белый цвет и нарисовал схему поворотов на развертке белой грани. Стрелками показано направление вращения центральных слоёв. Этап заключает в себе всего 4 поворота:

 

 

      Рис.1 - начальная позиция, на которой белый центр находится на синей грани и дальше, последовательно, совершая повороты центральных слоёв на 90 градусов, центры ставятся каждый на свою грань. На  Рис.5 все центры установлены на свои грани.  Всё.  Кубик собран .

 

 

 


Просмотров: 5108

Комментарии к статье:


Ваще сообщение:
 

 

Добавить комментарий

[B] [I] [u] [S] [2] [2]       [TAB] [∑] [∓] [≈] [≠] [≤] [≥] [π] [×] [√]       [RED] [GRE] [BLU]

[α] [β] [Γ] [γ] [Σ] [σ] [Δ] [δ] [Ω] [ω] [μ] [Λ] [λ]