Статья из сайта petrovlam.ru
Автор: Петров В. М.
Введена 20.10.2007
Последнее обновление: 06.09.2010

Часть 5

 

Вероятностные модели

 

Во многих исследованиях производственных процессов значения показателя непосредственно не оцениваются для определения того, выполняются ли заданные требования или нет.

Здесь информация о качестве, естественно, меньше, чем содержится в величине S, которая показывает дополнительно, насколько хорошо выполняются требования.

В том случае, когда характеристики нельзя оценить по экономическим соображениям или из-за большого количества измерений, требуется качественная оценка типа – поверхность с дефектами или без дефектов, просверлено отверстие или нет, отличается ли цвет или нет и т.д.

Для того, чтобы оценить качество в этом случае, необходимо определить, попадает ли полученное количество дефектов в заданные границы. На практике необходимо оценить вероятность для того, чтобы проверить качество поставок. Это означает, что нужно установить, являются ли результаты, найденные с приемлемой погрешностью, приемлемыми.

Показательная задача для контролёра – оценить долю дефектных единиц в партии по результатам анализа выборки. Основное требование для этого – знать, с какой вероятностью Р(х) появляется в выборке результат Х.

Пример

Выборочная партия = n = 100, вся партия содержит Р = 0.02 = 2% дефектных изделий.

Какова вероятность обнаружения в выборке дефектных изделий в количествах: Х = 0, 1, 2, 3, 4.

а) использовать арифметическое решение, исходя из биноминального распределения;

б) использовать решение по номограмме Ларсона.

Предельные диапазоны для дефектных деталей при малой выборке можно строго подсчитать, следуя гипергеометрическому распределению.

N – объём генеральной совокупности или объём партии

n – объём выборки

d – число дефектных изделий в партии

Р = d / n – доля дефектных изделий в партии

x – число дефектных изделий в выборке

g(x) = g(x; N, n, d)

- вероятностная функция

- дискретная вероятность

- вероятность обнаружения точно Х дефектных изделий в выборке.

G(x) = G(x; N, n, d)

- функция распределения

- суммарная вероятность

- вероятность обнаружить в выборке число дефектных изделий ≤ Х.

Использование этой формулы затруднительно, поскольку таблицы очень громоздки и непрактичны.

Если n < N /10, то можно использовать в качестве апроксимации биноминальное распределение. В большинстве случаев на практике это условие выполняется.

Вероятностные вычисления при биноминальном распределении

Вероятность обнаружить точно Х дефектных изделий в выборке вычисляется с помощью следующей формулы, полученной из гипергеометрического распределения:

Задача

при объёме выборки n = 100

доли дефектных изделий в партии P = 0.02 = 2%

определить вероятность обнаружения Х = 0, 1, 2, 3, 4 дефектных изделий.

= 1 · 1 · 0.1326 = 0.1326

= 100 · 0.02 · 0.1353 = 0.2706

= (99 · 100) / (1 · 2) · 0.0004 · 0.1381 = 0.2734

= (98 · 99 · 100) / (1 · 2 · 3) · 0.000008 · 0.1409 = 0.1823

= (97 · 98 · 99 · 100) / (1 · 2 · 3 · 4) · 0.00000016 · 0.1438 = 0.0902

Результаты сведены в таблицу 5-1.

Таблица 5-1

х

g ( x )

G ( x )

Арифметическое решение

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.1326

0.2706

0.2734

0.1823

0.0902

0.0353

0.0114

0.0031

0.0007

0.0002

0.1326

0.4032

0.6766

0.8589

0.9491

0.9844

0.9958

0.9990

0.9997

0.9999

Значение

биноминального

распределения

(Приложение)

Рис. 5-1 Вероятностная функция g(x)

Вероятностная функция g(x) и распределение G(x) для количества дефектных деталей в выборке объёмом n = 100 из партии с долей дефектности р = 0. 02 = 2% показана на рис. 5-1, функция распределения – на рис.5-2.

Рис. 5-2 Функция распределения G(x)

В результате можно получить следующую информацию: вероятность обнаружить Х дефектных изделий равна

Точно Х = 1 G(1) = g(0) + g(1)

До Х = 2 G(2) = g(0) + g(1) + g(2)

Меньше, чем Х = 2 G(1) = g(0) + g(1)

Больше, чем Х = 3 G(х > 3) = 1 – G(3)

Эту же задачу можно решать при помощи номограммы Ларсона (рис. 5-3).

Прямые линии проводятся от точки с долей дефектных деталей Р = 0.02 через точку пересечения кривой объёма выборки n = 100 с прямыми, соответствующими Х = 0, 1, 2, 3, 4, до шкалы суммарной вероятности G. Суммарную вероятность можно определить непосредственно по оси Y. Разницы между соседними значениями суммарных вероятностей равны значениям вероятностной функции для конкретного числа (Х) дефектных изделий в выборке.

Рис. 5-3 Номограмма Ларсона

Рис. 5-4 Номограмма Ларсона

Пример

Установить контрольные границы для дефектных деталей, используя номограмму Ларсона, для интервала, соответствующего 99 % (рис. 5-4).

Р = 2 %

n = 100

ВКГ, НКГ (99 %) – в брак в обе стороны попадёт по 0.5 % (по 0.005).

Прямая линия на рисунке идёт от точки доли дефектных деталей Р = 0.02 к значениям суммарной вероятности Рн = 0.005 и Рв = 0.995.

Точка пересечения прямой линии с кривой выборочных значений «n» даёт с округлением цифру для значения Х. Если полученное значение лежит выше требуемого значения, то оно остаётся. Если же оно лежит ниже, то берётся следующее большее значение.

В данном примере ВКГ = 6.0 + 0.005 = 6.005; НКГ = 0.1

Установление контрольных границ для дефектных деталей с помощью распределения Пуассона

Форма распределения Пуассона подобна форме биноминального распределения и может быть в трёх видах, приведённых на рис. 41.

Форма зависит от величины µ.

- когда µ меньше 1, распределение принимает J – форму (рис. 5-5а);

- если 1 < µ < 4, распределение имеет выраженный пик и медленный спад в правую сторону (рис. 5-5б);

- при µ > 4 распределение становится всё более симметричным и может быть представлено (в предельном случае) нормальным распределением, у которого дисперсия равна среднему значению, благодаря чему появляется возможность легко вычислить, сколько измеренных значений обнаружатся между данной парой значений (рис. 5-5в).

а б в .

Рис. 5-5 Формы распределения Пуассона

Распределение Пуассона можно характеризовать только одной характеристикой, или параметром, - средним µ. Величина µ будет описана ниже. Особое свойство распределения Пуассона состоит в том, что дисперсия всегда равна среднему значению:

среднее = µ = дисперсия

Доля измеренных значений Х для распределения Пуассона определяется по формуле:

g = (µX / X !) · e

g(x) = g(x; µ) = (µX / X !) · e

G(x) = G(x; µ) = Σ g(j)

Распределение Пуассона используется для решения двух различных типов задач:

а) Число дефектов в выборке из «n» единиц

µ - среднее число дефектов на «n» единиц в партии

n – объём выборки

Х – число дефектов в выборке

G(x) – вероятность обнаружить до «Х» дефектов в выборке

g(x) – вероятность обнаружить точно «Х» дефектов в выборке

б) Число дефектных изделий в выборке из «n» единиц (Пуассоновское распределение, как апроксимация биноминального распределения для малых «р» и больших «n»)

µ = np

p доля дефектных изделий в выборке

n – объём выборки

Х – число дефектных изделий в выборке

G(x) – вероятность обнаружить до «Х» дефектов в выборке

g(x) – вероятность обнаружить точно «Х» дефектов в выборке

Решение

С использованием вычислений для предыдущего примера с n = 100 и р = 0.02 можно получить решение для р – карты или np – карты (μ = 2).

G(x) = Σ g(j) = g(0) + g(1) + g(2) + g(3) + g(4)

Отдельные и суммарные вероятности распределения Пуассона для часто встречающихся значений μ приведены в Приложении.

В случаях, когда не требуется высокая точность, можно использовать номограмму суммарной функции распределения Пуассона, где приводится зависимость следующих величин:

μ = среднее

С = верхняя граница суммы

С помощью номограммы Торндайка Пуассоновского распределения можно определить значение функции распределения для данных значений μ и Х (рис. 5-6).

Применение номограммы не требует специальных разъяснений.

Рис. 5-6 Номограмма Торндайка

(Пуассоновское распределение)


Просмотров: 4913

Комментарии к статье:

№ 1705   Светлана   2016-08-06 21:21:16
Помогите, пожалуйста, не могу определить вероятность по номограмме Ларсона и Торндайка при известных данных: р=0,012; контр/границы +-2,380сигма; п=726.
№ 1706   Владимир Максимович   2016-09-06 08:20:03
На №1705
     Светлана, я и рад был бы помочь, но боюсь, что всё уже позабыл. Придётся начинать заново. А у меня сейчас другие заботы.
     Эта статья писалась 9 лет назад. И ещё никто не обращался ко мне по её теме.

Ваще сообщение:
 

 

Добавить комментарий

[B] [I] [u] [S] [2] [2]       [TAB] [∑] [∓] [≈] [≠] [≤] [≥] [π] [×] [√]       [RED] [GRE] [BLU]

[α] [β] [Γ] [γ] [Σ] [σ] [Δ] [δ] [Ω] [ω] [μ] [Λ] [λ]