Статья из сайта petrovlam.ru
Автор: Петров В. М.
Введена 24.10.2012
Последнее обновление: 24.10.2012

 

 

От Читателя Евгения Бенек

 

 

Теория КР, составленная из практического опыта.

 

      Впервые приступая к сборке кубика – мы в основном, практически ничего о нём не знаем. Чаще всего, начинающему, известна лишь конечная цель – «путём вращения граней, достичь правильной расстановки цветов» – чтобы каждая грань, приобрела один цвет.

 

 

      На момент, когда кубик берётся в руки «впервые» - наши познания о нём, могут быть практически равны нулю. И тогда часто возникают следующие ситуации:

 

«Не получается сделать крест!».

«Не получается собрать одну сторону».

 

      А всё потому, что совершенно неизвестен механизм. И это – естественное явление. Чтобы научиться его складывать (хотя бы частично, 1-2 первых слоя, например) – нужно подняться несколько выше «нулевого уровня». Усвоить некоторые, хотя бы «примитивные» знания в виде некоторых алгоритмов, и, конечно же – нужно приобрести определённый практический опыт. И вот тогда – станет ясно, как строится крест, одна сторона, второй слой…

 

      Но, даже достигнув в сборке уже весьма неплохих высот, и неплохого опыта – можно так и не знать ответа на многие, казалось бы очевидные явления. А они ведь существуют, привлекают внимание, всё больше и больше – и в конечном итоге, начинают требовать ответа. И это тоже вполне нормально.

      «Почему нельзя повернуть по собственной оси вращения именно один угол?».

      «Почему нельзя поменять местами только два угла?».

      Чтобы дать объяснение подобным вопросам, мне прежде пришлось освоить порядка 200 формул-алгоритмов, и потом ещё довольно долго думать – даже сейчас, мне не удалось достичь полной глубины, а лишь некоторого, хоть и достаточно глубокого, но далеко не запредельного уровня.

      Возможно, что на самом деле – познать всё невозможно – всегда будут возникать новые вопросы, неясности. Можно не пытаться «докопаться до истины» - а лишь дать некоторое «приблизительное» достаточно ясное объяснение всем этим явлениям.

 

      Именно хотя бы такое объяснение, я и пытался найти. Я далеко не математик. Не физик. Я не могу дать абсолютно точного объяснения с точки зрения физики и математики. Возможно, что подробные труды, посвящённые этой теме, уже давно имеются, и именно они самые правильные.

      Но, тем не менее, хотелось бы изложить своё собственное объяснение, происходящим при сборке явлениям. Некоторые вещи, возможно, покажутся неточными, надуманными, основанными больше на логике – но всё это, я брал именно из практических наблюдений. Из опыта, извлечённого путём осуществления тысяч сборок кубика.

 

      Итак, простой, казалось бы, вопрос: почему же нельзя повернуть один угол?

      «Всё получается просто. Кто-то из детей, либо из взрослых шутников, изрядно поковырял головоломку, и «повернул» уголок. Физически, разбирая куб. Затем, кто-то сведущий в сборке – собирает куб почти полностью, но, как и следовало ожидать – угол повёрнут неправильно. Если про фокус с углом, знатоку ничего неизвестно, то может возникнуть «тупиковая» ситуация, когда куб, ни за что не хочет собираться до конца. Начинается нервотрёпка, бессонные ночи. Всё встаёт правильно… кроме одного уголка. И так далее, в этом духе».

      Занимаясь скоростной сборкой – можно не задумываться про то, почему именно невозможен поворот одного угла. В случае же «форс-мажора» уголок просто физически исправляется. А объяснение при этом следует такое: «один угол повёрнут быть не может. Надо его просто вытащить – вставить правильно и всё заработает».

Такое «лечение» помогает. Куб после этого начинает прекрасно собираться. Но вот точного ответа на вопрос – почему один угол не поворачивается? – не даётся.

 

      Некоторое понимание механизма КР, пришло благодаря BOSP – этому способствовало возникновение некоторых «непредвиденных явлений» возникающих при сборке по BOSP.

      Многое  уже описал в методике по BOSP – но, наверное, можно напомнить.

      Вторая и четвёрная стадии по BOSP – соответствуют OLL и PLL из CFOP – но с той разницей, что по BOSP, возможны позиции не соответствующие OLL/PLL.

      Именно изучая их, сравнивая, удалось выявить основные закономерности.

 

      Началось всё с OLL.

      OLL-алгоритмы, направлены на изменение ориентировки элементов, то есть на поворот их, относительно собственных осей вращения (а то что при этом они могут меняться местами – не учитывается, поскольку не является пока «важным»).

      На OLL-стадии, имеется лишь один разобранный слой. И именно изучая этот один слой, можно легко выявить закономерность в ориентировке фрагментов. Особенно – если в 57 позициях, угловые и рёберные элементы – рассматривать раздельно.

      Углы (положение рёбер пока не учитывается), могут быть повёрнуты следующим образом:

 

           

 

           

 

      То есть всего – возможны 8 разных позиций с расположением уголков – и все 57 OLL, по положению углов – соответствуют одной из 8 приведённых картин. Причём всегда – производится поворот не менее 2х уголков одновременно, либо они не поворачиваются вообще.

      А рёбра в 57 могут быть повёрнуты только так (положение углов не учитывается):

 

           

 

      Как видно – рёбра также, вращаются только парами.

12 позиций, приведены для наглядности – на самом деле можно рассматривать все 57. И между ними, есть одно общее свойство.

      Этим общим свойством, оказался суммарный угол поворота элементов. Рёберных, либо угловых.

      Оси вращения рёберных элементов, проходят от центра куба через середины ребер – и каждый рёберный элемент может иметь 2 разных положения – исходное положение (угол поворота ноль градусов). И повёрнутое положение – угол поворота 180 градусов.

      Оси вращения угловых элементов – проходят от центра куба и через его углы. И для них возможны уже три состояния. Правильное (0), второе (повёрнут на 120 по часовой стрелке), третье (повёрнут на 120 против часовой, или на 240 – по часовой).

      Сходство всех позиций, возникающих на OLL, заключается именно в том, что при условном «сложении» углов – получается всегда величина, кратная 360 градусам.

      Осуществляется это так: например, условно принимается, что все элементы, поворачиваются по часовой. Тогда – угловые элементы, могут иметь угол поворота ноль, 120 или 240 градусов. А рёберные – 0, или 180.

      А теперь – можно проверить абсолютно любую позицию, из OLL – определяется как повёрнуты углы, а потом, производится их сложение.

      Например:

 

 

4 элемента, имеют углы поворота 0, и их можно не учитывать. Два ребра – повёрнуты. Их суммарный угол поворота равен: 180 + 180 = 360.

      Тот угол что «слева-сверху» - повёрнут на 240 по ч.с. Или на 120 против ч.с. А второй – на 120 по ч.с.

      Их суммарный угол поворота по ч.с. будет равен: 240 + 120 = 360.

 

      И тоже, самое условие – справедливо для всех остальных позиций. Причём кратность суммарного угла поворота элементов 360 – справедлива для всего куба в целом.

      Это подтверждается и в BOSP – там, на первой стадии, собран только средний слой. Два крайних слоя, разобраны. Если их рассматривать раздельно – то они либо также, соответствуют 360, и являются при этом по сути OLL, либо не соответствуют. Но даже в случае несоответствия – в сумме, они всё равно дают величину кратную 360.

 

      Теперь, рассмотрим ещё одну закономерность, которая касается вопроса «почему не меняются местами 2 угла». Здесь, наибольшую наглядность дают PLL.

      Если рассматривать PLL, то можно заметить, что один алгоритм, меняет 3-4 элемента. И восьмёрки – меняют шесть. Но никогда, не производится размена только двух.

      Идея механизма перемещения, пришла как-то неожиданно. Её можно сформулировать следующим образом:

      «В кубе всегда произведено чётное количество перестановок. Перестановкой, является взаимное изменение местоположения пары элементов».

      В этом отношении, кубик Рубика в точности похож на такую игру как «15», где действует подобный закон. Особенно он нагляден в упрощённой версии пятнашки, где имеются вместо 15 фишек лишь 3, и одно свободное место для перемещения. Можно из сочетания «123», получить только сочетания «312»,  и «231». Чётное число перестановок.

      Например, при таком алгоритме как лямбда – производится перестановка двух уголков, и двух рёбер. То есть две перестановки. При таком алгоритме как саночки – тоже две перестановки – на этот раз, меняются две пары рёбер. И при терминаторе – тоже две перестановки – две пары углов.

 

       

 

      Затруднения для понимания, возникали из-за случаев, где меняются три элемента. Но их также можно объяснить, с точки зрения перестановок. Суть в том, что два элемента, участвуют лишь один раз в одной перестановке, а третий – участвует дважды, в двух перестановках сразу – то есть, можно считать, что 1й элемент, меняется местами, сначала с 2м, а потом – с 3м. По принципу, из «123» в «231». В итоге также получается «2 пары элементов» – 2 перестановки. В восьмёрках, где меняются местами 6 фрагментов, – осуществляется сразу 4 перестановки. То есть чётное число.

 

       

 

      И теперь, опираясь на приведённые объяснения, можно дать объяснения на выше поставленные вопросы: «почему не поворачивается угол?». «Почему не меняются местами 2 угла».

      Поворот одного угла, это поворот на 120 градусов, по часовой стрелке, либо против. Но никак не 360 – в этом случае, угол будет просто принимать первоначально положение. Если допустить, что элементы могут поворачиваться суммарно на угол кратный 360 – то поворот только одного элемента, оказывается невозможен.

      Если пытаться повернуть только один угол – то возникающая разница с 360, будет компенсироваться поворотом ещё одного, или двух углов, то есть поворота только одного угла всё равно не получается.

      Невозможен поворот только одного угла (120), только ребра (180), либо только одного угла и ребра (120+180 = 300, что тоже не кратно 360). Всегда, в повороте участвует именно пара рёбер, пара углов, либо даже тройка углов (Sune and Antisune).

 

      То же самое, касается и перестановок: допустим, что два угла меняются местами – это всего лишь одна перестановка! Сама по себе, она не происходит. Если уж меняется местами пара углов, то одновременно с этим, должна производиться перестановка ещё одной пары элементов. Это могут быть ещё два угла, или два ребра. Или один из переставленных элементов – участвует в ещё одной перестановке.

      А если в перестановке участвую оба переставленных элемента? – Тогда, они должны снова меняться местами между собой, и фактически – возвращаются на первоначальные позиции. То есть, перестановки только двух элементов, в пределах всего куба, быть не может никак.

      Разумеется, невозможна также лишь перестановка пары рёберных элементов. Невозможны также перестановки пяти разнотипных элементов, например, пары уголков, и трёх рёбер (таких случаев, среди PLL, нет) – такие перестановки требуют по сути трёх перестановок, что не кратно 2, и потому – недопустимо.

 

      А теперь, предположим, что в самом начале, куб был неправильно собран – у нас неправильно повёрнут один угол, одно ребро, и два элемента переставлены. Производя какие-либо операции, с кубом, мы не сможем исправить эти неправильности – они, всегда будут сохраняться. В случае углов – всегда будет сохраняться угол равный 120, или 240 градусам по ч.с.

      Поворот неправильного угла: 120+240 = 360

      И неизбежный поворот ещё одного, правильно стоящего угла: 0 + 120 = 120.

      Также – будут сохраняться 180 градусов, для рёбер. Просто, «неправильность», будет всячески перескакивать на один из остальных, 11 элементов.

      И сохранится нечётность перестановок – всегда будут переставлены местами, два угла, либо два ребра.

      Если же куб изначально был собран правильно – то напротив, поворот его элементов, в сумме будет всегда кратен 360. А число перестановок – кратно 2. Либо – равно нулю. И тогда – собрать его можно всегда.

 

      Возможно, первопричиной всех этих явлений, является механизм самого процесса движения граней.

      Для этого, рассмотрим самый простейший поворот грани: например F - поворот передней грани, по часовой стрелке, на 90 градусов.

      Что собственно происходит, при этом, одном, самом «простом» повороте?

      Меняется ориентировка элементов. И меняется их местоположение.

      В процессе – участвуют восемь фрагментов. Девятым фрагментом – является середина грани, но её местоположение никак не меняется, и поворот на 90 градусов – не меняет её вида. И потому – середину грани рассматривать не стану. С этим можно конечно поспорить – ведь она всё же поворачивается на 90 градусов – но возможно, что поворот середины – ни на что не влияет, как не влияют на что-либо повороты уголков в тетраминске – они в пирамидке просто вертятся по своей оси, ни на что не влияя. И если убрать мысленно из кубика крестовину, с шестью центрами граней – то её отсутствие, не будет сказываться на движении оставшихся 20 фрагментов. Косвенным доказательством тому, служат модели изменённого кубика Рубика, где из конструкции, убраны центры граней. Они собираются абсолютно по тем же формулам, что и стандартный кубик Рубика – никаких иных, особых алгоритмов, для их сборки не требуется. Надо лишь понимать, где именно какой цвет должен стоять – это также несложно вычислить.

      Итак, остаются восемь элементов. Четыре уголка, и четыре ребра. Это элементы, приводимые в движение при F – повороте.

      Сколько перестановок происходит при движении? При подсчёте – получается шесть.

 

      Возьмём следующее изображение:

 

 

F – красного цвета.

R – зелёного.

U – жёлтого.

И можно считать что:

L – зелёный,

B – оранжевый,

D – белый.

(Такую расцветку имеет мой собственный куб).

 

Производим F – поворот.

И тогда – на U – грани, возникает спереди синяя полоса.

На R – грани – жёлтая, и т.д.

 

Можно при этом считать что:

 

Жёлто-красное ребро, поменялось местами с сине-красным.

Жёлто-красное ребро, поменялось местами с бело-красным.

Жёлто-красное ребро поменялось местами с зелёно-красным.

Аналогично произвелась перестановка и с углами.

 

 

То есть осуществилось чётное число перестановок, кратное двум.

 

      А как меняется ориентировка элементов?

      Относительно F – грани – никак.

      Относительно же LR, и UD граней – производится поворот элементов на суммарный угол, кратный 360.

      Два угла, закручиваются относительно своих осей вращения, на угол равный 120 градусам по ч.с.

      Два других угла – на углы равные 240 по ч.с.

      Суммарно – 120 + 120 + 240 + 240 = 720.

      Рёберные элементы – поворачиваются на 180.

      Суммарно – 180 + 180 + 180 + 180 = 720.

 

      Сравнение может быть не совсем точное, угол поворота равный 180, для каждого элемента, получается, если повернуть весь куб на 120 градусов по оси через центр, и 2 угла – так, чтобы выбранное ребро – «вернулось» на своё место.

      Допустим, оно было в F/U позиции, а после F – переместилось в F/R – позицию. Потом – весь куб, поворачивается по оси через U/F/R и L/B/D – углы – так, чтобы U – грань, «сползла» в R – позицию, R – перешёл на F, а F – на U – и тогда выбранное ребро снова оказывается в F/U – позиции. Но на этот раз – оно «опрокинуто». Жёлтый цвет, бывший ранее сверху, теперь стоит спереди. Аналогичную «проекцию», можно проделать с тремя другими рёбрами – они также, поворачиваются на 180.

 

      А теперь, если произвести ещё один поворот – то произойдёт аналогичное изменение положения элементов. Чётное количество перестановок, и изменение ориентировки на 360 градусов. Произведём множество поворотов. При этом – будет также происходить «наложение» каждого следующего поворота на остальные. Их «сложение», либо «вычитание» - но как бы это, ни происходило, в результате всё равно, будет сохраняться чётное число перестановок, и ориентировка кратная 360.

      Что если взять огромное количество цифр, кратных 2, или 360, а потом всячески их складывать, либо вычитать? – в результате всё равно получится цифра кратная 2, или 360.

      В исходном состоянии, когда грани одноцветны – угол поворота всех элементов равен нулю, и число перестановок равно нулю. Произведём любое число произвольных поворотов – получается чётное число перестановок, и суммарный угол поворота кратный 360. При обратном процессе – происходит «нейтрализация» всех величин до нуля. Это и будет сборка кубика.

      Если кубик был собран неправильно – то «неправильности» всегда сохраняются, поскольку их нейтрализация, невозможна до конца F – поворотом.

      И практический абсолютно любой другой поворот либо их комбинация, не в силах что-либо изменить – поскольку, по сути, является, теми же самыми «F – поворотами».

 

      Предположим, что кто-то, взял отвёртку, отвинтил один из центров, высыпал фрагменты куба на пол. Перемешал. А потом, не глядя, вставил их обратно, произвольным образом, и завинтил обратно центр.

      Получается разобранный куб, и при этом – неизвестно, соберётся он или нет?

      Это можно легко выяснить, если попробовать собрать куб. Если число перестановок было кратно 2, угол поворота углов, кратен 360, и угол поворота рёбер также, кратен 360 – то куб соберётся полностью.

      Вероятность такого события, составляет 1/12.

      Это можно объяснить тем, что вероятность кратности углов 360 – составляет 1/3 (угол может иметь три положения, и только одно – правильное).

      Вероятность кратности рёбер – ½.

      А суммарная вероятность кратности 360, составит: 1/3 * ½ = 1/6.

      Кроме того, вероятность того, что число перестановок пар элементов, является чётной величиной, также составляет ½. И тогда суммарная вероятность того, что все три условия соблюдаются – будет равна 1/3 * ½ * ½ = 1/12.

 

      Подобную математику, можно заметить в сборке по BOSP-методу – при сборке крайних слоёв могут возникать «3 паритета», аналогичных по механизму приведённым выше трём закономерностям. Суммарная вероятность их, как раз составляет 11/12, или порядка 91-92%. К счастью, эти паритеты, не доставляют серьёзных хлопот, иначе, сборка по BOSP, была бы весьма проблематичным делом. Эти три паритета, являются скорее «достопримечательностью BOSP», и даже вносят в схему сборки весьма интересные явления, в виде развилок. Суть их состоит в том, что во время второй стадии, можно нередко применять для ориентировки крайнего слоя, один из 4х совершенно разных OLL-алгоритмов (и намного реже, только 2, или 1). Благодаря этим паритетам, происходит не только дополнительный расход ходов, но и напротив – умело их используя, можно сокращать расход ходов, и время сборки.

 

      Это можно использовать и для решения следующей задачи:

      Что если попробовать определить кратности, не собирая куба? Не делая даже одного поворота?

      Такая задача, несмотря на значительную сложность, может иметь решение.

      Например, можно определить кратность суммарного угла угловых элементов.

      Для этого – достаточно взять пару противоположных цветов, и условно принять их за один цвет. Например, берутся красный и оранжевый (F и B – грани), и принимаются за «красно-оранжевый цвет».

      А теперь – можно определить, как повёрнуты углы по своим осям вращения, относительно красно-оранжевых центров (F и B). Одни углы – могут иметь градус 0, т.е. они красно-оранжевой стороной параллельны FB – центрам. Другие – повёрнуты, на 120 по ч.с. или на 240, по ч.с. Суммируя их угол поворота, можно получить некоторую величину – и если она не кратна 360, то можно сразу сказать, что куб полностью не соберётся. Вероятность такого события, весьма велика – 2/3.

 

      Также, можно определить суммарный угол рёберных элементов. Но для этого, придётся правда, применить более сложное сравнение.

      Кроме «красно-оранжевого» цвета, нужно взять ещё одну пару цветов, например «сине-зелёный». Причём роль пар неодинакова. Доминирующим цветом, будем считать «красно-оранжевый» - он имеется у 8 рёберных элементов. Остальные 4 – имеют «сине-зелёный». Он доминирует, только при отсутствии «красно-оранжевого цвета».

      Ну а третья пара цветов – «жёлто-белый» - в любом случае не будет доминировать.

      И теперь, производится определение положения рёберных элементов, относительно красно-оранжевых цветов.

      Угол считается 0, если красно-оранжевый фрагмент, параллелен красно-оранжевой стороной красно-оранжевому центру. И 180 – если не параллелен.

      Если же рёберный элемент является «сине-зелёным» (не имеет красно-оранжевого цвета) - то его ориентировка определяется по параллельности сине-зелёной стороной, точно таким же образом.

      Так определяются углы поворота 8 элементов.

      А углы поворота остальных 4 – определяются относительно «сине-зелёных» центров.

      Например:

      если элемент «красно-оранжевый», и красно-оранжевой стороной совпадает с «сине-зелёным» центром – то его угол поворота, считается нулевым. При этом, «красно-оранжевый фрагмент» - может ведь иметь и «сине-зелёную» сторону – но она в данном случае, роли играть не может, поскольку при наличии «красно-оранжевой», не является доминирующей.

      Если суммарный угол не кратен 360 – то полное сложение куба невозможно.

      Вероятность такого события, равна ½.

      А суммарная вероятность того, что куб не соберётся – составляет уже 5/6.

      Происходит частичное наложение вероятностей. В 1/6 – невозможность сборки вызвана ориентировкой рёберных элементов, в 1/3 – угловыми, и в 1/3 – имеется комплексное их воздействие. То есть с точностью 83% - я уже могу предсказать то, что сборка куба невозможна. И только в случае с остальным числом случаев – 1/6, имеется кратность суммарных углов 360 градусам – и полная сборка куба становится возможна. Но и здесь, выводы делать пока рано.

 

      Остаётся определить ещё одну характеристику – чётность, либо нечётность перестановок пар элементов. Чётность, либо нечётность, становится достаточно очевидна, если уже собраны 2 слоя, и остаётся разобран только один. И особенно она чётко видна – когда элементы крайнего слоя имеют правильную ориентировку – на PLL.

      Правда, найти закономерность для всего куба, сложнее – и пока не удалось. То есть в 2 случаях из 12, когда соблюдается общая кратность 360 – пока не могу определить на глаз число перестановок. Можно лишь пока предполагать. И для этой 1/6 случаев, возможна ошибка определения, с вероятностью 50%. Поскольку в 5/6 других случаев, невозможность сложения определяется точно – то в целом, я могу предугадать неизвестное состояние куба с точностью около 91-92%. (Если производить сборку кубика до 2х слоёв, то точность определения возрастает до предела - 100%).

 

      Задача ещё не решена окончательно, но думаю, что некоторые признаки чётности или нечётности перестановок, для всего куба в целом, существовать должны. Это последний шаг, оставшийся для решения этой задачи. И когда я его сделаю, можно будет предсказывать состояние куба, уже с точностью 100%. Не производя никаких поворотов, а лишь оглядев его.

 

Леннон. 24.10.12

 

 


Просмотров: 2137

Комментарии к статье:

№ 1207   Леннон   2013-02-11 07:28:41
Доброе утро.


Задача решена окончательно, и теперь можно 100% предвидеть состояние куба, не делая ни единого хода.


Независимо от того как он был перемешан, и в каком состоянии находился. За пару минут можно уверенно вычислять соберётся он, или же нет.


Давая в чужие руки куб, чтобы его перемешали, я могу не опасаться что меня внезапно "перехитрят" - признаки обмана будут раскрыты ещё до того как я приступлю к решению. Прекрасный способ, доказать любому, кто в сборке кубов король и бог 8)


Хотя и понадобилось, конечно, некоторое время, чтобы додуматься до этого самостоятельно - долго не мог уловить одну важную деталь. Немного в этом помог метод решения с циклами.


Подсчитывать число перестановок, умеют также сборщики вслепую (куберы-блайндеры), хотя и учатся этому, обычно, благодаря методикам.


Сборку вслепую, также реально освоить и не по методикам, а разработав свой собственный метод, расчитанный на слепую сборку. Метод получился хотя и грубоватый, но зато свой собственный, и вполне позволял запомнить и решить даже пару обычных кубов, за один раз (это был уже не просто блайнд 3*3*3, а небольшой мультиблайнд).
№ 1208   Владимир Максимович   2013-02-11 11:04:47
На №1207
     Евгений, Ваше решение вселяет надежду!
     Но, так как описать его Вы так и не сумели, решение останется неизвестной гипотезой!

Ваще сообщение:
 

 

Добавить комментарий

[B] [I] [u] [S] [2] [2]       [TAB] [∑] [∓] [≈] [≠] [≤] [≥] [π] [×] [√]       [RED] [GRE] [BLU]

[α] [β] [Γ] [γ] [Σ] [σ] [Δ] [δ] [Ω] [ω] [μ] [Λ] [λ]