Статья из сайта petrovlam.ru
Автор: Петров В. М.
Введена 21.10.2007
Последнее обновление:

Решение задачи 1

 

1.             За   рабочую   смену   рабочие   совместно   могут  максимально изготовить только 9 деталей Д.

Если требуемая единственная деталь Г будет поручена наименее производительному рабочему В, то деталей Д будет изготовлено всего 7 штук. Рабочий Б на одну изготовленную деталь Г не изготовит столько же деталей Д. Следовательно, в этом случае деталей Д будет изготовлено совместно только 8 штук. Если же поручить изготовление одной детали Г рабочему А, то деталей Д будет совместно изготовлено 8.5 штук, так как за время изготовления одной детали Г этот рабочий изготовил бы только половину детали Д.

 

2.             За рабочую   смену   рабочие   совместно   могут  максимально изготовить только 12 деталей Г.

Если требуемая единственная деталь Д будет поручена наименее производительному рабочему В, то деталей Г будет изготовлено всего 11.5 штук. Рабочий Б на одну изготовленную деталь Д не изготовит столько же деталей Г. Следовательно, в этом случае деталей Г будет изготовлено совместно только 11 штук. Если же поручить изготовление одной детали Д рабочему А, то деталей Г будет совместно изготовлено 10 штук, так как за время изготовления одной детали Д этот рабочий изготовил бы две детали Г.

 

 

Решение задачи 2

 

По данным из выборки можно вычислить среднее арифметическое параметра.

 

 

= (78 + 70 + 76 + 80 + 76 + 72 + 77 + 78 + 78 + 79) / 10 = 76.4

 

 

=√((78-76.4)2+(70-76.4)2+2·(76-76.4)2+(80-76.4)2)/(10-1) +

 

+√((72-76.4)2+(77-76.4)2+2·(78-76.4)2 +(79-76.4)2)/(10-1) =

 

=√ (2.56+40.96+0.32+12.96+19.36+0.36+5.12+6.76)/9=√88.4/9=√9.82=3.134

 

σ = 3.134

 

6 · σ = 18.804   (или ± 9.402)

 

1.           По заданию предельные значения размера равны :

 

Zн = 70 ед.;  Zв = 80 ед.

 

В нормализованных параметрах они соответствуют:

 

Uн = (Zн – ) / σ;    Uв = (Zв – ) / σ

Uн = (70 – 76.4) / 3.134 = -2.042

Uв = (80 – 76.4) / 3.134 = 1.149

 

По таблице Приложения находятся доли брака за пределами нижней границы размера (Рн) и за пределами верхней границы размера (Рв).

 

Рн = 0.0206 = 2.06%;   Рв = 0.125 = 12.5%

 

Графически это выглядит так

 

 

2.       Изменение среднего значения до  = 75 (вместо 76.4) приводит к смещению кривой нормального распределения влево. Из-за этого увеличится площадь левого заштрихованного участка и уменьшится площадь правого участка. А это означает, что увеличится доля брака ниже нижнего предела заданного диапазона, но уменьшится ожидаемое количество брака выше верхнего предела. Эти площади станут одинаковыми, так как среднее совпадает с серединой поля допуска.

 

Uн = -Uв = (Zпр – ) / σ

Uн = -Uв = (70 – 75) / 3.134 = 1.595

 

По таблице Приложения площадь под кривой нормального соответствует вероятному проценту годных деталей и равна 89 %. В силу симметричности кривой распределения брак для этого случая в обоих направлениях от границ поля допуска составит по 5.5 %.

 

 

Решение задачи 3

 

1.           Из условия задачи вычисляются предельные значения диаметра:

 

Øн = 7.928 мм;    Øв = 7.940 мм

Uн = (Øн – Х) / S;    Uв = (Øв – Х) / S

Uн = (7.928 – 7.0307) / 0.00377 = -0.716

 

Из Приложения следует, что доля брака равна

 

Рн = 0.236 = 23.6 %

Uв = (7.940 – 7.0307) / 0.00377 = 2.467

 

Из Приложения следует:

 

Рв = 0.00676 = 0.7 %

 

Суммарная доля брака составит:

 

Р = 23.6 + 0.7 = 24.3 %

 

2.   Смещение среднего до значения  = 7.034 мм приводит к тому, что среднее станет совпадать с серединой поля допуска. Следовательно ожидаемая доля брака для деталей с диаметром ниже минимально разрешённого должна уменьшиться, а ожидаемая доля брака для деталей с диаметром больше максимально разрешённого должна немного увеличиться. При этом эти доли станут одинаковыми.

 

Uн = -Uв = (Øпр – ) / S

Uн = (7.928 – 7.934) / 0.00377 = -1.595

 

Следовательно, ожидаемая доля однопредельного брака составит 0.118 = 11.8 %

Суммарная доля брака составит:

 

Р = 11.8 · 2 = 23.6%

 

 

Решение задачи 4

 

По данным из выборки можно вычислить среднее арифметическое параметра.

 

 

= (3.29 + 3.24 + 3.25 + 3.32 + 3.30 + 3.22 + 3.25 + 3.24 + 3.20 + 3.22) / 10 = 3.253

 

 

 

 

=

 

=0.0386

 

σ = 0.0386

 

6 · σ = 0.2316   (или ± 0.1158)

 

По заданию предельные значения размера равны:

 

Zн = 3.1мм;  Zв = 3.4 мм

 

       В нормализованных параметрах они соответствуют:

 

Uн = (Zн) / S;    Uв = (Zв) / S

Uн = (3.1 – 3.253) / 0.0386 = -3.964

Uв = (3.4 – 3.253) / 0.0386 = 3.808

 

По таблице Приложения находятся доли брака за пределами нижней границы размера (Рн) и за пределами верхней границы размера (Рв).

 

Рн = 0.00004 = 0.004 %;   Рв = 0.00007 = 0.007 %

 

Суммарная доля брака составит:

 

Р = 0.004 = 0.007 = 0.011 %

 

 

Решение задачи 5

 

    Используя данные из задачи, можно вычислить стандартизованные параметры кривой нормального распределения:

 

Zн= 3.0мм;  Zв = 3.6 мм

Uн = (Zн) / S;    Uв = (Zв) / S

Uн = (3.0 – 3.15) / 0.15 = -1.667

Uв = (3.6 – 3.15) / 0.15 = 2.333

 

По таблице Приложения находится доля годных деталей (между нижней и верхней границами размера).

 

Рг = Gв - Qн = G(2.333) – Q(1.667) = 0.9901 – 0.0475 =  0.9426;   Рг = 94.26 %

 

Таким образом, заказчик получит из имеющейся партии 942600 шт.

 

 

Решение задачи 6

 

    В оптимальном варианте величина поля допуска на изделие должна быть в 1.33 раза больше размаха 6σ.

    В стандартизованных параметрах кривой нормального распределения поставленная задача даёт такие значения:

 

Ср = 1.33;  (Сpk)в = 1 = 3σ;

Ширина поля допуска П = 1.33 · 6σ =  7.98 · σ ≈ 8 · σ

 

Графическое решение будет выглядеть так:

 

 

 

Решение задачи 7

 

pk)н   =  0.666 · 3σ =  1.998 · σ ≈ 2 · σ

 

 

 

Решение задачи 8

 

pk)в  = 0.5 · 3σ =  1.5 · σ

П = 0.666 · 6σ =  3.996 · σ ≈ 4 · σ

 

 

 

Решение задачи 9

 

Исходя из условий задачи, вычисляются:

 

Zв = 50.000

Uв = (50.000 – 35.695) / 5.879 = 2.433

 

Из Приложения выбирается:

 

Q(u) = 0.00755

Рв = 0.76 %

 

Ср – здесь не вычисляется, так как не задан нижний предел вязкости.

 

Сpk = (50.000 – 35.695) / (3 · S) = 14.305 / (3· 5.879) =  0.811

 

Исходя из условий задачи, вычисляются:

 

Zв = 50.000

Uв = (50.000 – 35.695) / 5.879 = 2.433

 

    Из Приложения выбирается:

 

Q(u) = 0.00755

Рв = 0.76 %

 

 

Ср – здесь не вычисляется, так как не задан нижний предел вязкости.

 

Сpk = (50.000 – 35.695) / (3 · S) = 14.305 / (3· 5.879) =  0.811

 

 

Решение задачи 10

 

Из условий задачи вытекает:

 

Zн = 4.8 мм;   Zв = 5.2 мм;   П = 0.4 мм

 

Гр.1

 

На основании этих данных вычисляются:

Uн1 = (4.8 – 5.0) / 0.05 = -4.0

Uв1 = (4.9 – 5.0) / 0.05 = -2.0

 

Этим параметрам соответствует брак (см. Приложение):

 

Рн1 = 0.003 %;   Рв1 = 97.725 %

 

Суммарно внутри первой группы окажутся:

 

Рг1 = 100 % - Рн1 – Рв1 = 100 – 0.003 – 97.725 = 2.272 %

 

Количество шариков в первой группе:

 

N1 = 22720 шт

 

Гр.2

 

   На основании данных задачи вычисляются:

 

Uн2 = (4.9 – 5.0) / 0.05 = -2.0

Uв2 = (5.0 – 5.0) / 0.05 = 0.0

 

   Этом параметрам соответствует брак (см. Приложение):

 

Рн2 = 2.275 %;   Рв2 = 50.000 %

 

   Суммарно внутри второй группы окажутся:

 

Рг2 = 100 % - Рн2 – Рв2= 100 – 2.275 – 50.000 = 47.725 %

 

    Количество шариков во второй группе:

 

N2 = 477250 шт

 

Гр.3

 

     На основании данных задачи вычисляются:

 

Uн3 = (5.0 – 5.0) / 0.05 = 0.0

Uв3 = (5.2 – 5.0) / 0.05 = 4.0

 

Этим параметрам соответствует брак (см. Приложение):

 

Рн3 = 50.000 %;   Рв3 = 0.003 %

 

Суммарно в третьей группы окажутся:

 

Рг3 = 100 % - Рн3 – Рв3= 100 – 50.000 – 0.003 = 49.997 %

 

Количество шариков во второй группе:

 

N3 = 499970 шт

 

Итого: количество годных шариков составит:

 

N = N1 + N2 + N3 = 22720 +477250 + 499970 = 999940 шт

 

количество бракованных шариков будет:

 

Р = 1000000 – 999940 = 60 шт

 

 

Решение задачи 11

 

Так как отсутствует верхнее ограничение усилия отрыва, нет необходимости вычислять параметр Uв.

 

Uн = (Zн) / S;    Uв = (Zв) / S

Uн1 = (180 – 235.74) / 19.34 = -2.88

 

    Из Приложения вычисленному значению соответствует доля брака:

 

Рн1 = 0.00199 = 0.20 %

Uн2 = (180 – 252.441) / 26.684 = -2.71

 

    Из Приложения вычисленному значению соответствует доля брака:

 

Рн2 = 0.00336 = 0.34 %

Uн3 = (180 – 252.441) / 19.34 = -3.75

 

    Из Приложения вычисленному значению соответствует доля брака:

 

Рн3 = 0.00009 = 0.009 %

Сpk1 = (235.74 – 180) / (3 · 19.34) = 0.961

Сpk2 = (252.441 – 180) / (3 · 26.684) = 0.905

Сpk3 = (252.441 – 180) / (3 · 19.34) = 1.249

 

 

Решение задачи 12

 

    а)    Uн = (99.8 – 100) / 0.1 = -2;   Рн = 0.02275 = 2.275 %

Uв = (100.2 – 100) / 0.1 = 2;  Рв = 0.02275 = 2.275 %

 

Суммарная  доля брака может быть Р = 4.55 %, что меньше заданной (5 %).

 

Cp = 0.4 / (6 · 0.1) = 0.667

(Cpk)н = 0.2 / (3 · 0.1) = 0.667

(Cpk)в = 0.2 / (3 · 0.1) = 0.667

 

    б)    Uн = (99.8 – 100) / 0.2 = -1;    Рн = 0.15866 = 15.87 %

           Uв = (100.2 – 100) / 0.2 = 1;   Рв = 0.15866 = 15.87 %

 

    Суммарная  доля брака может быть Р = 31.73 %, что больше заданной (5 %).

 

Cp = 0.4 / (6 · 0.2) = 0.333

(Cpk)н = 0.2 / (3 · 0.2) = 0.333

(Cpk)в = 0.2 / (3 · 0.2) = 0.333

 

    в)    Uн = (99.8 – 99.9) / 0.1 = -1;    Рн = 0.15866 = 15.87 %

Uв = (100.2 – 99.9) / 0.1 = 3;   Рв = 0.00135 = 0.14 %

 

Суммарная  доля брака может быть Р = 16.01 %, что больше заданной (5 %).

 

Ср = 0.4 / (6 · 0.1) = 0.667

pk)н = 0.1 / (3 · 0.1) = 0.333

pk)в = 0.3 / (3 · 0.1) = 1.000

 

Таким образом, только вариант «а)» обеспечивает заданную норму брака.

 

 

Решение задачи 13

 

Поскольку отклонения из выборки представлены с высокой точностью, при вычислении стандартизованного параметра σ следует применить поправочный коэффициент С4 (см. Приложение).

 

σ = S / C4 = 0.082597 / 0.9727 = 0.08492

Uн = (11.93 – 12.08) / 0.08492 = -1.766

Uв = (12.2 – 12.08) / 0.08492 = 1.413

 

Этим параметрам по таблицам из Приложения соответствуют доли брака:

 

Рн = 3.84 %;    Рв = 7.93 %

 

Суммарная доля брака составит в этом случае величину:

 

Р = 11.77 %

 

Индексы возможностей процесса:

 

Ср = 0.27 / (6 · 0.08492) = 0.5299

pk)н = (11.93 - 12.08) / (3· 0.08492) = -0.5888

pk)в = (12.20 - 12.08) / (3· 0.08492) = 0.471

 

 

Решение задачи 14

 

По таблице из Приложения для доверительной вероятности 99 % в столбце «G(u)-Q(u)» выбираются значения 0.98983 (u = 2.57) и 0.99012 (u = 2.58). Они интерполируются для вычисления Р= 99 % (0.9900). При этом будем предполагать, что зависимость значений между соседними строками является линейной.

 

U = ((0.99000 – 0.98983) / (0.99012 – 0.98983)) / 100 + 2.57 = 2.57586

 

Тем самым определены стандартизованные предельные границы поля допуска на изделие для условия, что технологический процесс отлажен, и средние значения толщин точно совпадают с серединами полей допусков.

 

 

Из этой формулы следует, что предельные размеры для наружных стекол равны:

 

Zпр1 = U · σ1 + μ1

Zв1 = 2.57586 · 0.2 + 3.0 = 3.5152 мм

Zн1 = 2.4848 мм

П1 = 1.0304 мм = ± 0.5152 мм

 

Предельные размеры для внутреннего стекла равны:

 

Zпр2 = U · σ2 + μ2

Zв2 = 2.57586 · 0.3 + 6.0 = 6.7728 мм

Zн2 = 5.2272 мм

П2 = 1.5455 мм = ± 0.7728 мм

 

Предельные размеры для клеевых слоёв равны:

 

Zпр3 = U · σ3 + μ3

Zв3 = 2.57586 · 0.1 + 0.76= 1.0176 мм

Zн3 = 0.5024 мм

П3= 0.5152 мм = ± 0.2576 мм

 

Предельные толщины бронестекла Равны:

 

Zв = Zв1 + 2 · Zв2 + 2 · Zв3 = 3.5152 + 2 · 6.7728 + 2 · 1.0176 = 19.096 мм

Zн = Zн1 + 2 · Zн2 + 2 · Zн3 = 2.4848 + 2 · 5.2272 + 2 · 0.5024 = 13.944 мм

 

 

Решение задачи 15

 

Uв = (65.000 – 59.667) / 2.4708 = 2.1584 ≈ 2.16

Uн = (55.000 – 59.667) / 2.4708 = -1.8889 ≈ -1.89

 

Из таблиц Приложения:

 

Рв = 1.54 %;    Рн = 2.94 %;    Р = 4.48 %

 

Индексы процесса:

 

Ср = П / (6 · σ) = 10 / (6 · 2.4708) = 0.6745

pk)н = (55.000 – 59.667) / (3 · σ) = -0.6296

pk)в = (65.000 – 59.667) / (3 · σ) = -0.7195

 

Кривая нормального распределения может выглядеть так:

 



Решение задачи 16


1. Для построения требуемого графика необходимо вычислить стандартизованные параметры U при неизменных границах допуска на вес пакета.

При вычислениях среднее будем задавать через 0.5 г в интервале от = 998.5 г до = 1001.5 г.

= 998.5:

Uн = (998.5 – 998.5) / 0.5 = 0

Uв = (1001.5 – 998.5) / 0.5 = 6

Рн = 50.00 %; Рв = 0.00 %; Р = 50 %

= 999.0:

Uн = (998.5 – 999.0) / 0.5 = -1

Uв = (1001.5 – 999.0) / 0.5 = 5

Рн = 15.87 %; Рв = 0.00 %; Р = 15.87 %

= 999.5:

Uн = (998.5 – 999.5) / 0.5 = -2

Uв = (1001.5 – 999.5) / 0.5 = 4

Рн = 2.28 %; Рв = 0.00 %; Р = 2.28 %

= 1000.0:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 0.5 = -3

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 0.5 = 3

Рн = 0.14 %; Рв = 0.14 %; Р = 0.28 %

= 1000.5:

Uн = (998.5 – 1000.5) / 0.5 = -4

Uв = (1001.5 – 1000.5) / 0.5 = 2

Рн = 0.00 %; Рв = 2.28 %; Р = 2.28 %

= 1001.0:

Uн = (998.5 – 1001.0) / 0.5 = -5

Uв = (1001.5 – 1001.0) / 0.5 = 1

Рн = 0.00 %; Рв = 15.87 %; Р = 15.87 %

= 1001.5:

Uн = (998.5 – 1001.5) / 0.5 = -6

Uв = (1001.5 – 1001.5) / 0.5 = 0

Рн = 0.00 %; Рв = 50.00 %; Р = 50.00 %

График:

2. Для построения второго графика будем вычислять параметр U при неизменном значении Х и изменяющемся значении S.

S = 0.3:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 0.3 = -5

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 0.3 = 5

Рн = 0.00 %; Рв = 0.00 %; Р = 0.00 %

S = 0.5:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 0.5 = -3

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 0.5 = 3

Рн = 0.14 %; Рв = 0.14 %; Р = 0.28 %

S = 0.7:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 0.7 = -2.14

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 0.7 = 2.14

Рн = 1.62 %; Рв = 1.62 %; Р = 3.24 %

S = 1.0:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 1.0 = -1.50

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 1.0 = 1.50

Рн = 6.68 %; Рв = 6.68 %; Р = 13.36 %

S = 1.3:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 1.3 = -1.15

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 1.3 = 1.15

Рн = 12.51 %; Рв = 12.51 %; Р = 25.02 %

S = 1.5:

Uн = (998.5 – 1000.0) / 1.5 = -1.00

Uв = (1001.5 – 1000.0) / 1.5 = 1.00

Рн = 15.87 %; Рв = 15.87 %; Р = 31.74 %



Решение задачи 17


а) Для вычисления вероятности встретиться с тушей весом более 1250 кг следует предварительно определить параметр U кривой нормального распределения.

Uв = (Zв – X) / σ = (1250 – 950) / 150 = 2

По таблице из Приложения этому соответствует Р = 2.28 %

б) Аналогично вычисляется вероятность найти тушу весом менее 850 кг.

Uн = (850 – 950) / 150 = -0.667

Этому параметру соответствует вероятность Р = 25.14 %

в) Для диапазона от 800 кг до 1300 кг необходимо вычислить суммарную вероятность Р = Рн + Рв.

Uн = (800 – 950) / 150 = -1.00

Uв = (1300 – 950) / 150 = 2.33

Из Приложения определяются:

Рн = 13.57 %; Рв = 0.99 %; Р = 14.56 %

г) Этот вариант аналогичен варианту «б)», если принять нижнюю границу веса равной 900 кг.

U = (900 – 950) / 150 = -0.333

Из чего следует, что

Р = 25.86 %

д) Такая же операция проводится для анализа отклонения от среднего на 50 кг вверх.

U = (1000 – 950) / 150 = 0.333

В данном случае заданный вес является условно нижней границей допуска. Поэтому из Приложения берётся значение в столбце Q(u).

Р = 74.14 %

е) Из Приложения по величине вероятности, равной 0.899 находим параметр U.

U = 1.64

Теперь стало возможным вычислить разницу между возможным весом туши и средним значением:

Zв = U · σ + µ = 1.64 · 150 + 950 = 246 + 950 = 1196 кг

Zн = 950 – 246 = 704 кг



Решение задачи 18


Среднее и отклонение берутся из задачи 17.

Из Приложения для вероятности Р = 0.1587 (ниже нижней границы) находим параметр Uн = -1.

Для вероятности Р = 0.3707 (выше верхней границы) находим U = 0.33.

В данном случае 1σ как раз и составит 150 кг (950 – 800).

Соответственно 0.33σ будет равно 50 кг (для верхней границы).

Графическое решение задачи выглядит так:



Решение задачи 19


Взглянув на таблицу 14, можно однозначно ответить, что при различном объёме выборок из четырёх названных типов карт применяются u – карты и p – карты.



Решение задачи 20


а) Увеличение среднего арифметического на величину стандартного отклонения равносильно переносу верхней границы поля допуска с позиции 3σ в позицию 2σ, а нижнюю границу – из позиции -3σ в позицию -4σ. Из таблицы Приложения видно, что до смещения суммарный брак составлял:

Р = 100 % - 99.73 % = 0.27 %

После смещения суммарная доля брака составит:

Р = 0.003 % + 2.275 % = 2.278 %

б) Увеличение стандартного отклонения в два раза приводит к тому, что границы поля допуска переносятся с позиций ±3σ позиции ±1.5σ. Это соответсвует вероятной суммарной доли брака, равной:

Р = 100 % - 86.639 % = 13.361 %

в) Этот вариант не соответствует истине, так как из предыдущих рассуждений видно, что в обоих случаях доля вероятного брака будет увеличена. Однако в варианте «б)» брак увеличится на бóльшую величину.



Решение задачи 21


Поведение (Сpk)в зависит не только от того, как изменяется само среднее, но и от того, как оно соотносится с верхней границей поля допуска (смотреть Дополнение после рис. 3-6 в части 3).

Если 2 < 1 и 2 > Zв, то (Cpk)в уменьшится.

Если 2 < 1, и 2 < Zв, и (1 – Zв) > (Zв – 2), то (Cpk)в уменьшится.

Если 2 < 1, и Zв < 1 и 2 < Zв, и (1 – Zв) = (Zв – 2), то (Cpk)в не изменится.

Если 2 < 1, и Zв < 1 и 2 < Zв, и (1 – Zв) < (Zв – 2), то (Cpk)в увеличится.

Если 2 < 1, и 2 < Zв, и 1 < Zв, то (Cpk)в увеличится.



Решение задачи 22


На графике кривой нормального распределения по оси абсцисс откладывается значение измеряемого параметра в абсолютных или в стандартизованных единицах. По оси ординат откладывается частота повторения конкретного измеренного параметра. Частота повторения не преобразуется в относительные единицы, и посему высота центра распределения непосредственно показывает среднюю арифметическую величину параметров, полученных измерением выборки. Эта величина называется модой.

Практически мода не используется в статистических методах систем качества. Поэтому на практике кривая нормального распределения по оси ординат строится без учёта точного значения повторяемости.



Решение задачи 23


Всё, что перечислено в задании, входит в статистические методы.



Решение задачи 24


В задаче задана вероятность пропуска дефекта, равная 1 %. Следовательно, годных изделий ожидается 99 %. Поэтому коэффициент k в формуле для расчёта контрольных границ следует принять равным 2.58.

ВКГ = 0.5 + 2.58 · = 1.316

С = 1.316 · 5 = 6.58

Поскольку количество дефектов на детали не может быть дробным, полученное число следует округлить до целого. При этом следует учесть, что контрольная граница означает предел, через который ни один результат не может перешагнуть. Поэтому округление до значения 7 не допустимо. Таким образом, контролёр в средней по величине выборке встретит не более 6 дефектов (на всех деталях.



Решение задачи 25


В Х–R карте координата ВКГ линейно зависит от значения R. Поэтому при увеличении R увеличивается ВКГ.



Решение задачи 26


Поведение (Сpk)н зависит не только от того, как изменяется само среднее, но и от того, как оно соотносится с нижней границей поля допуска (смотреть Дополнение после рис. 25).

Если 1 > и > Zн, то (Cpk)н увеличится.

Если 1 > , и 1 < Zн, то (Cpk)н уменьшится.

Если 1 > , и 1 > Zн, и Zн > , и (1 – Zн) > (Zн – ), то (Cpk)н увеличится.

Если 1 > , и 1 > Zн, и Zн > , и (1 – Zн) = (Zн – ), то (Cpk)н не изменится.

Если 1 > , и 1 > Zн, и Zн > , и (1 – Zн) < (Zн – ), то (Cpk)н уменьшится.



Решение задачи 27


В формуле для вычисления (Сpk) отклонение S находится в знаменателе. Следовательно, уменьшение S ведёт к увеличению результата.

pk)н = │( - Zн) │ / 3S

pk)в = │(Zв) │ / 3S



Решение задачи 28


Срок службы в этой задаче представляет собой среднее арифметическое = 56.

По заданной доле бесплатного ремонта (Р = 0.02275 или 2.275 %) из Приложения находим соответствующий параметр U = 2.

Из формулы Uн = (Zн – ) / S выводим:

Zн = U · S - = 2 · 16 - 56 = 32 - 56 = -24 мес

Так как 24 мес = 2σ, то масштаб для σ равен:

σ = 24 / 2 = 12 мес; 2σ = 24 мес; 3σ = 36 мес; Zн = 8 мес; Zв = 104 мес

Графически решение выглядит так:



Решение задачи 29


Вычисляются нормализованные границы поля допуска:

Uн = (12.5 – 8) / 3 = 1.5

Uв = (14.0 – 8) / 3 = 2.0

Следует обратить внимание на то, что нижняя граница поля допуска расположена правее среднего арифметического.

Вычислить незаштрихованную на графике площадь можно разными путями. Например,

Р = Q(Uн) – Q(Uв) = 0.06681 – 0.02275 = 0.04406 = 4.4 %

Таким образом, вероятность появления названного диапазона чисел возможна с вероятностью 4.4 %.



Решение задачи 30


В данной задаче совершенно не обязательно применять законы нормального распределения случайной величины. Достаточно просто сравнить ширину опасной полосы для проезда танка и вычислить её долю относительно всей ширины (расстояния между минами).

Ширина опасной зоны равна ширине самого танка, т.е. равна 3 м.

Р = 3 / 15 = 0.2 или Р = 20 %



Решение задачи 31


5 % от 160 человек – это Х = 8 чел. Это означает, что в среднем из 160 мест свободными остаются 8 мест.

Вероятность того, что из всех, заказавших билеты пассажиров, не захотят полететь Х человек вычисляется по формуле:

g(0) = (1 – 0.05)160 = 0.0 %

g(1) = ((160) / (1)) · 0.051 · (1 – 0.05)160 – 1 = 0.2 %

g(2) = ((160 · 159) / (1·2)) · 0.052 · (1 – 0.05)160 – 2 =

12720 · 0.0025 · 0.0003022 = 0.0266 = 1.0 %

g(3) = ((160 · 159 · 158) / (1·2·3)) · 0.053 · (1 – 0.05)160 – 3 =

669920 · 0.000125 · 0.0003181 = 0.0266 = 2.7 %

g(4) = ((160 · 159 · 158 · 157) / (1·2·3·4)) · 0.054 · (1 – 0.05)160 – 4 =

26294360 · 0.00000625 · 0.000334874 = 0.0550 = 5.5 %

g(5) = ((160 · 159 · 158 · 157 · 156) / (1·2·3·4·5)) · 0.055 · (1 – 0.05)160 – 5 =

820384032 · 0.000000312 · 0.000352499 = 0.0902 = 9.0 %

g(6) = ((160·159·158·157·156·155) / (1·2·3·4·5·6)) · 0.056 · (1 – 0.05)160 – 6 = 12.3 %

g(7) = ((160·159·158·157·156·155·154) / (7 !)) · 0.057 · 0.95160 – 7 = 14.2 %

g(8) = ((160·159·158·157·156·155·154·153) / (8 !)) · 0.058 · 0.95160 – 8 = 14.3 %

g(9) = ((160·159·158·157·156·155·154·153·152) / (9 !)) · 0.059 · 0.95160 – 9 = 12.7 %

g(10) = ((160·159· ... ·153·151) / (10 !)) · 0.0510 · 0.95160 – 10 = 10.1 %

и т.д.

Т.е., действительно, из 160 потенциальных пассажиров с наибольшей вероятностью могут не полететь 8 человек.



Решение задачи 32


1. Данная задача не решается по методике, показанной при решении задачи 31, так как в задании не оговорена доля дефектных изделий в выборке. Но известно, что на одну единицу изделия (стекло площадью 5 дм2) в среднем приходится 1 дефект. Это означает, что на заданной площади (50 дм2) при нормальном процессе может находиться 10 дефектов. Таким образом, известно:

μ = 10

Следовательно, можно воспользоваться формулами:

g(x) = g(x; µ) = (µх / X !) · e

G(x) = G(x; µ) = Σ g(j)

Где:

g(x) – вероятность обнаружения точно Х дефектов на n единицах площади;

µ - число нормальных дефектов на n единицах площади;

G(x) – вероятность обнаружения до Х дефектов.

g(0) = (100 /1) · e-10 = 0.00004540 = 0.005 %

g(1) = (101 /1 !) · e-10 = 10 · 0. 0004540 = 0.045 %

g(2) = (102 /2 !) · e-10 = 100 / 2 · 0. 0004540 = 0.227 %

g(3) = (103 /3 !) · e-10 = 0.757 %

g(4) = (104 /4 !) · e-10 = 1.892 %

g(5) = (105 /5 !) · e-10 = 3.783 %

g(6) = (106 /6 !) · e-10 = 6.306 %

g(7) = (107 /7 !) · e-10 = 9.008 %

g(8) = (108 /8 !) · e-10 = 11.260 %

g(9) = (109 /9 !) · e-10 = 12.511 %

g(10) = (1010 /10 !) · e-10 = 12.511 %

g(11) = (1011 /11 !) · e-10 = 11.374 %

g(12) = (1012 /12 !) · e-10 = 9.478 %

g(13) = (1013 /13 !) · e-10 = 7.291 %

g(14) = (1014 /14 !) · e-10 = 5.208 %

g(15) = (1015 /15 !) · e-10 = 3.472 %

G(0 – 10) = Σ g(0 – 10) =

= 0.005+0.045+0.227+0.757+1.892+3.783+6.306+9.008+11.260+12.511+12.511 =

= 58,305 %

Вероятность того, что заданное стекло попадет в разряд первого сорта (от0 до 10 дефектов) равна 58.3 %

Вероятность отнести стекло ко второму сорту равна сумме вероятностей обнаружить от 11 до 15 дефектов за минусом вероятности первого сорта.

G(11-15) = Σ g(0-15) – Σ g(0-10) = Σ g(11-15) =

= 11.374 + 9.478 + 7.291 + 5.208 + 3.472 = 36.823 %

Вероятность оценить стекло в качестве бракованного зависит только от факта обнаружения как минимум 16-того дефекта без относительно того, будет ли дефектов больше, чем 16.

g(16) = (1016 /16 !) · e-10 = 2.170 %

2. Вероятность того, что стекло с размерами 5 см * 10 см будет иметь 0, 1, 2 или 3 дефекта, является частным решением, уже проведённым выше. Следует только определить число нормальных дефектов на такой площади (0.5 дм2).

Если на 5 дм2 приходится один дефект, то на 0.5 дм2 должно приходиться 0.1 дефекта. Поэтому начальная формула принимает вид:

g(x) = (0.1х / X !) · e-0.1

g(0) = (0.10 /1) · e-0.1 = 0.904837 = 90.484 %

g(1) = (0.11 /1 !) · e-0.1 = 0.1 · 0.904837 = 9.048 %

g(2) = (0.12 /2 !) · e-0.1 = 0.01 / 2 · 0.904837 = 0.452 %

g(3) = (0.13 /3 !) · e-0.1 = 0.015 %


Просмотров: 3949

Комментарии к статье:


Ваще сообщение:
 

 

Добавить комментарий

[B] [I] [u] [S] [2] [2]       [TAB] [∑] [∓] [≈] [≠] [≤] [≥] [π] [×] [√]       [RED] [GRE] [BLU]

[α] [β] [Γ] [γ] [Σ] [σ] [Δ] [δ] [Ω] [ω] [μ] [Λ] [λ]